例えば
「5個の変数a,b,c,d,eがあり、a*b*c*d*e=120　だという。a,b,c,d,eは何か」
では答えは分かりません。

しかし、「0<a<b<c<d<eを満たす整数」　という条件が加われば、(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)と答えが定まります。
様々な可能性があったけど、条件が加わることで一意に定まる様子を収束と表現しただけです。

あるkに対し、a_{k}≧a_{k+1} となれば、その後どんどん小さくなります。
a_{k}は正の整数という条件／性質を考えれば、a_{k}≧a_{k+1}はありえません。
従って、a_{k}＜a_{k+1}　が言え、上のような解の特定ができます。