P, Qは円内を動く。最高速度は両者同じ。Pは適切な戦略を取ればQを必ず捕まえられる。

どうやって示しますか？

中心-P-Qが同一直線上にあるように動きながら円周に追いつめればいい。

>>1
単発質問禁止

>>3
自治厨きっしょｗ

このスレタイの論点
●例とし、逃げる先手と追う後手の軌道の距離が、必ずアキレスとカメのように縮まるのを1個示す(戦略についてでない面)(端に追いやり軌道変えなきゃいけないとき必ず幾何学的に縮まる理由を示す)
●戦略面は知らない(端に追いやられる前に弧を描く戦略)

クソスレ厨

>>6
平日の朝から匿名掲示板のパトロールしてる奴ｗ

お前もな

>>2
証明は？

Q(r(t),θ(t)) が r'²+r²θ'²≦1 である任意の動点とする。Pは時刻0で原点,r(0)>0として良い。P(s(t),θ(t))を
s(t) = sin(t) とする。
　s'²+s²θ'²
　= cos²(t) + sin²(t)θ'(t)²
　≦ cos²(t) + sin²(t)
　= 1

>>9
要る？

まあ、自明ではないわな。中心から Q へ向かうとき P のほうが角速度の面で
優利であまった余力を半径を近づけていくほうにまわすわけだけど、
その余力は Q に近づくにつれ 0 に近づいてしまう。するとその 0 への収束のしかたが強すぎると永遠に Q に
届かないとも限らない。そんなことはないかどうかは実際定量的にきっちり評価しないとだめやろな。

アキレスと亀みたいな話になる可能性もあるのか。

>>12
>自明ではない
互いに相手の動きによって動作を決めるその能力って言うか決め方の定義が曖昧よね

>>10
これは逃げる側の動きが最初から決められてるから題意に合わないのでは？

円の縁まで追い詰めた、最後のところの話かね。

>>14
>互いに相手の動きによって動作を決めるその能力って言うか決め方の定義が曖昧よね
連続なP(t),Q(t)でどちらも速度は1以下Q(0)=Oとしていいが
P(t)もQ(t)も相手の位置から自分の何を決められるんだろ
連続関数で無くて
Δt刻みの離散なPn,QnだとしてPn-1からQnとQn-1からPnを
|Pn-Pn-1|,|Qn-Qn-1|≦Δt
であるように決めるとすると
Qn=Qn-1+Δt(Pn-1-Qn-1)/|Pn-1-Qn-1|
だろうか？そうでもないような気もするし
Pnはそもそもどっち方向へ逃げるべきなのかな

Pnの決め方Qnの決め方が決まるんなら
Pn,Qnともその決め方を使ってもいいはずだよね
つまりその決め方によるPn,Qnを自分の位置の決め方に入れてもいい
それなら
Qn=Qn-1+Δt(Pn-Qn-1)/|Pn-Qn-1)
だろうか？
しかしPnは更にどう逃げるべきなのか分からない感じ

これ俺が小学生の時に友だちと遊んでたゲームに似てる
そのルールは
QがPに追いつくんじゃ無くて
線分PnPn-1を線分QnQn-1がクロスすればQの勝ち逆ならPの勝ちってのだった
ああそうそうターン制で
お互いに相手が動いてから自分の動きを決めるというもの
最大移動距離が決まっていて何で計ってたかな？
定規？コンパス？10円玉だったかも

あー
ノート使ってたかな
1ページの外に行くのはダメだったような気がする

ちなみに各自1点じゃ無くて
各自の基地からいくつも発進してた
一回のターンで動けるのが1点だったか全部だったか忘れてる

この問題もターン制にするなら
Pn,Qnは
PnはQn-1から決めて
QnはそのPnから決めるという感じかな
先に動くのがQでも良いけれど
OからP0方向へΔtの位置をQの開始位置Q0にすれば
Pから始めるとしていいかもね

test

ターン制だとQに追いつかれる寸前のPが
OQP一直線だとしてQ中心半径Δ(=一回の最高移動距離)の円が
P中心半径Δの円とO中心の円の共通部分を含めば負け確定
Qは必ずそのような位置関係にPを追い詰めることはできそうだ
方針はOP上でなるべくPに近い位置に移動すること
この方針で必ずOQは長くなっていくでしょどうかな
O中心半径OQの円の外部にしかPが移動できないことを言えばいい
それはPQ>Δだからその中点通ってOQPに垂直な直線上にP,Q中心半径Δの円の交点が存在し
そこがOPの最小だからかならずOP上でなるべく近い位置にQ外どうした時OQは長くなる（はず）

Pの最大移動距離ΔPとQの最大移動距離ΔQとが
ΔP>ΔQであるとしてもQがPを追い詰めることができるんじゃないかな
近寄りすぎるとOPが短くなるように逃げられる可能性が出て来るから
ある程度は離れつつ同様にOP上に移動して追い詰めるのでどう？
ΔP≦ΔQなら追い詰められるけど
ΔP>ΔQになったらいきなり逃げることができるようになるような気がしない
OQPが一直線の時Pが捕まらないのは
P中心半径ΔPの円ーQ中心半径ΔQの円の中に移動する時だから
その領域で最もOに近い点がこの2円の交点P'なので
OP'>OPとするにはPQがあまり近づいてはダメ
ある程度の距離を保ちつつしかしOP<OP'<OP''とだんだん遠くに追い詰めていけばいずれは上記の差集合が移動の場の円の外にしかないようにできると思うけど
ΔP>ΔQがどのくらい大きいところまで許せるのか興味深いね
ある程度差が大きいとPが必ず逃げることができるようにもなりそう

あとΔP=ΔQのときはOQPが一直線となるように移動すればいいけど
ΔP>ΔQのときはその戦略が取れないこともあろうし
あるいはあえてその戦略をとらない方が美味く行くことが無いとも限らない
もしかしたらドンドンカオス的になったりして

>>25
>ある程度差が大きいとPが必ず逃げることができるようにもなりそう
ΔP>2ΔQなら必ず逃げられるから
2ΔQ≧ΔP>ΔQの場合どんなかな

元の問題に戻すと
Pの速度がQの速度より大きく2倍以下の場合にあたるのかな

PとQが光速で動いているとすれば、逃げる側がうまく行動すれば
おそらく追いつかれることはないだろう。

この設定なら追いつくとおもう。
----
P の捕獲戦術 S = (r(s,φ;t) θ(s,φ；t) とは ℝ^ℝ→(ℝ→ℝ×ℝ) ( Q の逃走戦術 (s,t) に対してそれを捕獲するための行動を与える関数であって
(1) Q の逃走経路の範囲も P の捕獲経路の範囲も単位園内
(2) Q の逃走速度が 1 以下なら P の追跡速度も 1 以下
(3) s(t) = s'(t) φ(t) = φ'(t) (∀t≦t₀)→ S(s,φ;t) = S(s,φ;t) (∀t≦t₀)
(Pのある時刻までの追い詰める行動はQのその時刻までの逃走する経路のみに依存し、将来的に Q がどのような経路で逃げるかを予測してそれに依存することはできいない)

以上のセットアップのもとに
ある捕獲戦術が存在して任意の逃走経路 (s,φ) にたいして ∃t S(s,φ;t) = (s(t),φ(t)) (ある時刻で P は Q を捕獲できる)

S : (ℝ→ℝ×ℝ)→(ℝ→ℝ×ℝ)
に訂正

https://arxiv.org/pdf/0909.2524

https://archive.org/details/mathematiciansmi033496mbp/page/106/mode/2up
135ページから

>>33
やっぱ離散化して考えてもいるね
小学校の俺なかなかだったな

>>30
>>27に書いたけれど
同速度だと追う側が相当有利なのは明かだから
追う側が追われる側より遅い場合でも
ある程度までは追いつく戦略パスが存在すると思う
どのくらいまで遅くていいか分かる？（俺はサッパリ）

>>35
あー離散の場合ね
連続だと
追われる側が早ければ捕まる寸前で逃げられると思う

あいや連続でも何とかなるかも？

円内のどこかに穴があれば永久に逃げられる

1点欠けた球ではどうか？

Hamilton-Jacobi-Isaacs方程式の知識が無いのでなかなかしんどい

ジェイソンに殺されてしまう

>>38
>>36
なんか昔
レベルセット＝等高線上で似た議論を考えてたことがある。

Google Colab+バイブコーディングで動きをみよう

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter

# --- パラメータ設定 ---
R = 1.0 # アリーナの半径
P = 0.6 # ステップ減衰率 (0.5 < P < 1.0 で逃げ切り成立)
C = 0.05 # ステップのスケール係数 (小さくすると挙動が安定します)
NUM_STEPS = 800 # シミュレーションのステップ数

def simulate_pursuit_fixed():
m_pos = np.array([0.4, 0.0]) # 人間 (M)
l_pos = np.array([0.0, 0.0]) # ライオン (L)

m_path, l_path = [m_pos.copy()], [l_pos.copy()]
distances = [np.linalg.norm(m_pos - l_pos)]

for n in range(1, NUM_STEPS + 1):
# 1. 人間の移動 (現在の半径に対して垂直に l_n 動く)
m_dist = np.linalg.norm(m_pos)
om_unit = m_pos / m_dist
perp_vec = np.array([-om_unit[1], om_unit[0]])
l_n = C * (n ** -P)

m_pos = m_pos + l_n * perp_vec
new_m_dist = np.linalg.norm(m_pos)
new_om_unit = m_pos / new_m_dist

# 2. ライオンの移動 (速度制限を考慮して半径 OM 上を追う)
# L_n から L_{n+1} への距離が l_n となるような新しい半径 r_L' を求める
dist_l = np.linalg.norm(l_pos)
cos_dt = np.dot(om_unit, new_om_unit) # 角度の変化の余弦
sin2_dt = 1 - cos_dt**2

# 余弦定理の逆解: rL'^2 - (2*rL*cos_dt)*rL' + (rL^2 - l_n^2) = 0
term = l_n**2 - (dist_l**2 * sin2_dt)
if term < 0: # 角度に追いつけない場合（基本起きない）
new_dist_l = dist_l * cos_dt
else:
new_dist_l = dist_l * cos_dt + np.sqrt(term)

# 捕獲判定（数値誤差考慮）
if new_dist_l >= new_m_dist:
new_dist_l = new_m_dist

l_pos = new_dist_l * new_om_unit

m_path.append(m_pos.copy())
l_path.append(l_pos.copy())
distances.append(new_m_dist - new_dist_l)

if new_m_dist > R: break # 壁に到達

return np.array(m_path), np.array(l_path), distances

m_path, l_path, distances = simulate_pursuit_fixed()

# 描画
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))

# 左側: 軌跡のプロット
ax1.set_xlim(-1.1, 1.1); ax1.set_ylim(-1.1, 1.1); ax1.set_aspect('equal')
ax1.add_artist(plt.Circle((0, 0), R, color='black', fill=False, lw=2))
ax1.plot(m_path[:, 0], m_path[:, 1], 'b-', alpha=0.5, label='Man Path')
ax1.plot(l_path[:, 0], l_path[:, 1], 'r-', alpha=0.5, label='Lion Path')
ax1.legend()
ax1.set_title("Trajectories (Besicovitch Strategy)")

# 右側: 距離の推移 (対数スケール)
ax2.plot(distances)
ax2.set_yscale('log')
ax2.set_title("Distance between L and M (Log Scale)")
ax2.set_xlabel("Steps")
ax2.set_ylabel("Distance")
ax2.grid(True, which="both", ls="-", alpha=0.5)

plt.savefig('pursuit_result.png')
print(f"最終距離: {distances[-1]}")

環境ないからソース見せられても動かん
オンラインのプログラミング環境で書いてリンク貼って

>>45
離散問題にしたら>>35成立するんじゃないかな？
つまり離散問題と連続の場合とは本質的な違いが有るんだと思う

アキレスはカメを追い越せない。

>>49
べシコヴィッチの例はそういう言葉遊びではなく
無限時間追いつけなくなる

追われる者の動作の情報が追うものとの間の距離に比例した時間だけ遅れてしか手に入らない場合にはどうなるか？
つまり情報の伝達速度ｃが無限に大きければかならず捕まえられても、伝達速度ｃが小さければ、保証の限りに
あらずではないだろうか？　
赤とんぼ、追われてみたのはいつの日か。

マジレスすると、負われてみたのはいつの日かですね。
おそらくおんぶのことですね。（ご存知かもしれませんが。）