測度が先か、積分が先か

どちらが基礎なのか

Rの部分集合Sが有界とは
∃K>0, ∀x∈S: -K<x<Kとなる
こと。
I=[a, b]={x|a≤x≤b}の長さをb-aとする。
これをm(I)=b-aと表すことにする。
長さlength、面積area、体積volumeの一般化抽象化として測度を考える。
積分長さ面積体積

一点aの測度=0である。
m([a, a])=a-a=0
従って(a, b)、[a, b)、(a, b]の測度=0である
m((a, a))=m(∅)=0
∅の測度=0である。
平行移動による不変性
m(I+h)=m(I)

有限加法性
Rの部分集合S1, S2, …, Snを考える。
1 それぞれのSiたちには共通部分(共通する点)は無い。i≠jの時、Si∩Sj=∅
2 各Siが測度を持つとする。この時、和S=S1∪S2∪…∪Snも測度を持つ
m(S)=m(S1)+m(S2)+…+m(Sn)とする。

Rの連続性
上に有界な単調増加列はある実数に収束する
liman=c=supan
In=[a, an)とする。右半開区間 a≤x<an
I1⊂I2⊂…⊂In…→I=∪Ii
単なる和ではなく和集合。共通部分はその都度カットする。
連続性とは区間の広がり方の1つの型

右半開区間の列を変える
J1=[a, a1), J2=[a1, a2), …, Jn=[aₙ₋₁, aₙ), …
互いに素としておく。
可算無限個の区間の和=長さは通常は測れない。
元のJnたちに交わりが無く平行移動後のJ'nたちにも交わりが無いと仮定する。

有限加法性から完全加法性へ
極限概念が働いてくる
有限の中で考えると人間はそのようにしがち、当然のように見えるが組み合わせの仕方は無限にあるので我々の想像の届かない図形が現れ得る。そのような図形(集合)に対しても長さが測れる。測度概念の導入。可算無限個。

極限lim x→a
実数とは有理数列の収束先全体
雨が降り水溜りが出来ても無限に大きな水溜りにはならない。一定の大きさにとどまりいずれ消えていく
一次元二次元三次元の物理的幾何学的実例を見ることが出来る。単純な一次元のみならず二次元三次元…n次元においても一次元と同様の極限が存在する
しかしそれを形式的数式的に表すことは困難である。近似的に求めることも容易ではない。数学的には定量的に攻められず定性的位相的性質として探究するのが出発点となった。

円の面積ひいては円周率を求める
Sn=(n/2)sin(360/n)°→π
多角形の面積を既知として一般の図形の面積を考える、図形を内側から多角形で近似していく。増加列を考える
あるいは外側から多角形で近似する。減少列を考える。いすれにしても図形は形は変わってしまうが面積は求められる。
図形Sの近似増加列S1⊂S2⊂…⊂Sn→Sを考える。「それぞれのSiが面積を持つならばSも面積を持つ」と考える。
多角形による近似列Siが面積を持つならば一般の図形も面積を持つ。
すなわちS=lim[n→∞]Sn
と定義する。
極限関数が有限個の不連続点を持つ、可算個の稠密な点で不連続であるなどの場合。
[0, 2π]で定義された普通の関数f(x)は
f(x)=a0/2+∑ancosnx+∑bnsinnx
と展開される
冪級数から複素解析、Fourier級数から実解析の発展へ