5次以上の交代群が単純になる理由

逆に4次以下の交代群が単純にならない理由

4次以下は具体的な正規列でも構成すれば良いんじゃないの。
5 次以上は3次の巡回置換が共役なのと、単位元でない正規部分群が、少なくとも一つの3次の巡回置換を含むことを言えば良いんじゃね。

n ≥ 3なら、A_nは長さ3の巡回置換で生成される（互換の積を巡回置換の積で表せばいい）

n ≥ 5なら、A_nの非自明な正規部分群は必ず長さ3の巡回置換を含む（難）

n ≥ 3なら、長さ3の巡回置換はS_nで共役（2つの巡回置換に現れる文字を写す置換を持ってくればいい）
n ≥ 5なら、A_nでも共役（上の置換が偶置換ならOK、奇置換なら互いに素な互換をかけてやればいい）

この3つが証明のポイント
n ≤ 4だと、下2つができない

>>1
単発質問禁止

３次交代軍は単純群ですが

>>4
自治厨きっしょｗ

なら>>2は、4次以下の「以下」は無くしておくよ。

「交代群は5次以上で単純群であることの証明�@」
for-spring.com/algebra/group-42/

The simplicity of the alternating groups
math.berkeley.edu/~ogus/Math_250A/Notes/simplicityofalternating.pdf

Simplicity of alternating group An
mathoverflow.net/questions/233207/simplicity-of-alternating-group-a-n

もしもA5が正規部分群を持ってしまうと5次の一般代数方程式が可解に
なってしまうから、そういうことはありえないんだよ。

正規部分群が存在したら、絶対に可解と言うことはできるの？
私はあまり分からない。

正しく無い家庭からは全ての間違いが生じ得る。

5次以上の交代群が単純（正規部分群を持たないこと）になる理由は、

ガロアがそう決めたからだ。彼以前には群の理論からは正規部分群
という概念が欠けていた。

A5が単純だから可解

でない

12+12+20+15+1=60
(1+ any sum of the above four) does not divide 60

類等式