5次以上の交代群が単純になる理由

逆に4次以下の交代群が単純にならない理由

4次以下は具体的な正規列でも構成すれば良いんじゃないの。
5 次以上は3次の巡回置換が共役なのと、単位元でない正規部分群が、少なくとも一つの3次の巡回置換を含むことを言えば良いんじゃね。

n ≥ 3なら、A_nは長さ3の巡回置換で生成される（互換の積を巡回置換の積で表せばいい）

n ≥ 5なら、A_nの非自明な正規部分群は必ず長さ3の巡回置換を含む（難）

n ≥ 3なら、長さ3の巡回置換はS_nで共役（2つの巡回置換に現れる文字を写す置換を持ってくればいい）
n ≥ 5なら、A_nでも共役（上の置換が偶置換ならOK、奇置換なら互いに素な互換をかけてやればいい）

この3つが証明のポイント
n ≤ 4だと、下2つができない