前も指摘したけど
繰り返し作業が、別に降下法になっていないように見えます
(a,b,c) から次の組 (a1,b1,c1) を与える具体的な写像が定義されていません。
また、各ステップで gcd(ak,bk)=1 が保存されることも示されておらず、
同じ議論を再適用する根拠がありません。
さらに、降下法であれば必要な ck+1<ck のような単調減少も提示されていません。

従って、この繰り返し操作は数学的に定義されておらず、証明として成立していません。