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https://en.wikipedia.org/wiki/Condensed_mathematics
Condensed mathematics
(google訳)
凝縮数学
凝縮数学は、ダスティン・クラウゼンとピーター・ショルツェによって開発された理論であり、位相空間をある種の集合の層に置き換えることで、位相群上のホモロジー代数を行う際のいくつかの技術的な問題を解決するものです

一部の人々によると、この理論はトポロジー、複素幾何学、代数幾何学など、さまざまな数学のサブ分野を統一することを目的としている。[要出典]特に、キラン・ケドラヤは凝縮数学を「位相環上の可換代数を行うための技術」と表現した

アイデア
この理論の発展における基本的な考え方は、位相空間を以下に定義する凝縮集合に置き換えることによって得られる。凝縮集合の圏、および凝縮アーベル群の圏などの関連圏は、位相空間の圏よりもはるかに扱いやすい。特に、位相アーベル群の圏とは異なり、凝縮アーベル群の圏はアーベル圏であるため、これらの構造の研究において ホモロジー代数のツールを用いることができる

凝縮数学の枠組みは十分に一般的であることが判明しており、凝縮代数で値をとる層を持つさまざまな「空間」を考慮することで、代数幾何学、p進解析幾何学、複素解析幾何学を組み込むことができると期待できる

液体ベクトル空間
凝縮数学では、液体ベクトル空間は完全位相ベクトル空間の代替であり、その圏は完全位相ベクトル空間の圏よりも優れた抽象的性質を持つ。これにより、アーベル圏などのツールを使用したより抽象的なアプローチが可能になる

意味
縮約集合とは、有限集合のサイト上の集合の層であり、そのグロタンディーク位相は、有限個の全射写像の集合によって与えられる。同様に、縮約群、縮約環などは、このサイト上の群、環などの層として定義される
任意の位相空間X
略

歴史
2013年、Bhargav BhattとPeter Scholzeは、任意のスキームに関連付けられたプロエタールサイトの一般的な概念を導入した。2018年、Dustin ClausenとScholzeは、上記で導入されたプロ有限集合のサイトと同型である一点のプロエタールサイトは、その上に層として大きなクラスの位相空間を実現するのに十分な豊かな構造を既に持っているという結論に達した。さらなる発展により、凝縮集合と固体アーベル群の理論が生まれ、それによって非アルキメデス幾何学を理論に組み込むことができるようになった

2020年、ショルツェは、液体ベクトル空間の概念を用いて、関数解析と複素幾何学を凝縮数学の枠組みに組み込むことを可能にする結果の証明を完成させた。議論は非常に微妙であることが判明し、結果の妥当性に関する疑念を払拭するために、彼は他の数学者に形式化され検証された証明を提供するよう依頼した。 6か月にわたり、ヨハン・コメリン率いるグループが証明支援ツールLeanを使用して証明の中央部分を検証した。[ 8 ] [ 7 ] 2022年7月14日現在、証明は完了している

偶然にも、2019年にバーウィックとヘインは同様のピクノティックオブジェクトの理論を導入した。この理論は凝縮集合の理論と非常に密接に関連しており、主な違いは集合論的な性質のものである。ピクノティック理論はグロタンディーク宇宙の選択に依存するが、凝縮数学は厳密にZFC内で展開できる