各桁がランダムかつ独立、という条件を外せば
決定番号が可測になるようにはできるけどね（笑）

サイコロを振る
結果が６だったら、そこで終了
それ以外だったら、サイコロの目を箱に入れて
さらにサイコロを振る
結果が６だったら、そこで終了
それ以外だったら、サイコロの目を箱に入れて
さらにサイコロを振る
・・・
これを続けてできた無限列について
最後にサイコロの目が入った箱の番号をnとする
n+1が決定番号であり、その確率は(1/6)*(5/6)^n

ついでにいうと、生成される列はほぼ確実にすべて空の箱の列と尻尾同値で、
そうでない列が生成される確率は0

そして、そのような列100列について、もちろん箱入り無数目の戦略は成立する
まあ、もっといい戦略は存在するけどね（笑）