オイラーの定数γを有理数と仮定する
有理数γを既約分数として γ＝q/p p≧2、q≧2 と表す
ここに、pとqは互いに素な整数である
このとき、0＜q/p＜3/5＜0,66…＜π^2/6−1
であって q/p∈[0,π^2/6−1) だから、
ロナルド・グラハムの定理により、
既約分数 q/p p≧2 q≧2 に対して或る2以上の整数nが存在して
q/p は相異なるn個の2以上の整数 a_1,a_2,…,a_k の2乗の逆数和として表される
即ち、q/p＝Σ_{k＝1,…,n}(1/(a_k)^2) である
よって、γを広義積分で表したときの面積に着目すれば、
γ−q/p＝∫_[0,+∞)(1/[x]−1/x)dx−Σ_{k＝1,…,n}(1/(a_k)^2)＜0
である。ここに、[x] はxより大きい最小の整数を表すものとする
しかし、γ＝q/p p≧2 q≧2 pとqは互いに素な整数 としているから γ−q/p＝0 である
有理数の大小関係により、γ−q/p＜0 と γ−q/p＝0 とが両立することはなく矛盾する
故に、背理法により、γは無理数である