オイラーの定数γを有理数と仮定する
有理数γを既約分数として γ＝q/p p≧2、q≧2 と表す
ここに、pとqは互いに素な整数であるとする
このとき、3.14＜π から 0＜q/p＜3/5＜(3.14)^2/6−1＝0.64326…＜π^2/6−1
であって q/p∈(0,π^2/6−1)∪[1,π^2/6) だから、
ロナルド・グラハムの定理により、
既約分数 q/p p≧2 q≧2 に対して或る2以上の整数nが存在して
q/p は相異なるn個の2以上の整数 a_1,a_2,…,a_k の2乗の逆数和として表される
即ち、q/p＝Σ_{k＝1,…,n}(1/(a_k)^2) である
ここに、a_1＜a_2＜…＜a_n と仮定する
任意の m≧max(n,(a_n)^2＋1)＋1 なる整数mに対して
S[m]＝∫_[1,m](1/[x]−1/x)dx
とおく。このとき、広義積分 S[m]＝∫_[1,m](1/[x]−1/x)dx の
片側無限列 (S[m])_{m≧max(n,(a_n)^2＋1)＋1} は単調増加であり
m→+∞ のときγに収束するから、m→+∞ とすれば、
∫_[1,m](1/[x]−1/x)dx→γ であって、
γ＝q/p＝Σ_{k＝1,…,n}(1/(a_k)^2) p≧2 q≧2 pとqは互いに素な整数
なることに注意すれば、lim_{m→+∞}(S[m])−q/p≦0 を得る
任意に m≧max(n,(a_n)^2＋1)＋1 なる整数mを取る