たとえば、
γ=π^2/6-（1+1/2^2+1/3^2+…の有限個の項からなる和）
であることが証明できれば、γは無理数であることが
証明されるが、そんな都合のいい話はないでしょ？

で結局、何を証明している？ 不等式と言っても
有理数の全体は実数全体の中で稠密なので、見た目
の「距離」で、区別することはできませんよ？