>>809
任意の正の整数nに対して、a_n＝1＋1/2＋…＋1/n とおく
正の無限大に発散する調和数列 {a_n} について、
オイラー・マクローリンの総和公式から、n→+∞ のとき、a_n を漸近展開すれば
a_n〜log(n)＋γ＋1/(2n)−1/((12n)^2)＋1/((120n)^4)−ε
である。ここに、0＜ε＜1/(252n^6) である
任意に a＞−1 なる実数aを取る。このとき、任意の正の整数nに対して、
log(n＋a)＝log(n)＋log(1＋a/n) である
x＝a/n とおいて、log(1＋x)＝log(1＋a/n) をマクローリン展開すれば、
iog(1＋x)＝x−x^2/2＋O(1/n^3) であるから、
log(n＋a)＝log(n)＋log(1＋a/n)＝log(n)＋a/n−(a/n)^2/2＋O(1/n^3)
即ち、log(n＋a)＝log(n)＋a/n−a^2/(2n^2)＋O(1/n^3)
である。a＞−1 なる実数aは任意に取っていたから、aを走らせれば
log(n＋a)＝log(n)＋a/n−a^2/(2n^2)＋O(1/n^3) a＞−1 は任意　である
よって、調和数列 {a_n} について、n→+∞のとき a_n−log(n＋a) を漸近展開すれば、
a_n−log(n＋a)〜γ＋(1/(2n)−1/((12n)^2)＋1/((120n)^4)−ε)−(a/n＋a^2/(2n^2)−O(1/n^3)) a＞−1 は任意
即ち、a_n−log(n＋a)〜γ＋(1/2−a)/n＋(−1/((12n)^2)＋1/((120n)^4)−ε)−(a^2/(2n^2)−O(1/n^3)) a＞−1 は任意
である。ここに、0＜ε＜1/(252n^6) である。故に、a＝1/2 とすれば、(1/2−a)/n＝0 であって、
a_n−log(n＋a)〜γ−(1/((12n)^2)−1/((120n)^4)＋ε)−(a^2/(2n^2)−O(1/n^3)) a＞−1 は任意
を得る。ここに、0＜ε＜1/(252n^6 である