a, bは正の整数とする。(a^2 + b^2)/(ab + 1)が整数なら平方数であることを示せ

どうやって示す？

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整数k=(a²+b²)/(ab+1) と置くとa, b>0よりk>0である。
a²+b²=k(ab+1)、a, b, k,正整数 ①
①の時、kは平方数になることを証明する。

kは非平方数であると仮定する。②
①を満たす(a, b)のうち、a+bが最小となる組を(A, B)とする。対称性よりA≥Bとしてよい。

a²-kBa+B²-k=0 ③
aに関する二次方程式③はa=Aを解に持つ。③の他の解をCとすると
②⇔a=A, C、A, B, k>0
解と係数の関係により
A+C=kB、AC=B²-k
C=kB-AとなるからCは整数である。
C=(B²-k)/A<B²/A≤A²/A=A
∴C<A⇔C+B<A+B ④

C>0とするとAの最小性に反する④。
C=0とするとk=B²より②に矛盾する
C<0とすると①で∀B>0に対して右辺=k(CB+1)≤0、左辺>0であり矛盾する。
よって②の仮定は否定されるのでkは平方数となることが示された。

a, bを正整数とする時、次を証明せよ。
(4ab-1) | (4a²-1)² ⇒ a=b

(4a²-1)²≡0 mod (4ab-1)より
b²(4a²-1)²≡0 mod(4ab-1)
(4a²b-b)²≡0 mod(4ab-1)
(a-b)²≡0 mod(4ab-1)
よって(a-b)²=k(4ab-1)、kは非負整数と置ける。①
①を満たす(a, b)の組のうちa+bが最小になる組を(A, B)とする。

a²-2(1+2kB)Ba+B²+k=0、kは非負整数。②
②はaの二次方程式であり解の1つはAであり他の解をCとする。
②⇔a=A, C、kは非負整数。③
解と係数の関係より
A+C=2(2kB+1)、AC=B²+k>0よりC>0、
C=2(2kB+1)-AよりCは正整数。

A>Bとする。A-B>0、k>0。
AC=B²+k=B²+(A-B)²/(4AB-1)
ここでC<A⇔CA<A²
⇔(A-B)²<(A²-B²)(4AB-1)
⇔A-B<(A+B)(4AB-1)=4A²B-A+4AB²-B
⇔1<2B(A+B) これは成り立つ。
すなわちCはAの最小性に反する。

A<Bとする。A-B<0、k>0。
AC=B²+k=B²+(A-B)²/(4AB-1)
ここでC<A⇔CA<A²
⇔(A-B)²<(A²-B²)(4AB-1)
⇔A-B>(A+B)(4AB-1)=4A²B-A+4AB²-B
⇔1>2B(A+B) これは成り立たない。
よってA≠Bでは矛盾が生じるのでA=Bが必要である。k=0。
逆にa=b>0とすると(4a²-1) | (4a²-1)²でありこれは自明である。

a, bは正の整数とするとき、(a^2 + b^2)/(ab + 1)　の形で表される平方数はどのようなものか？

「a, bは正の整数とする。(a^2 + b^2)/(ab + 1)が整数なら平方数であることを示せ」

6までの証明は、(a^2+b^2)/(ab+1) が常に整数にならなくても成り立つし、それで正しいが、
(a,b)=(1,1) とすると平方数1を表すから、少なくとも平方数を表す場合が1つあることがわかる。

相加相乗不等式より　ab <=　(a^2+b^2)/2。

すると

(a^2+b^2)/(ab+1) <= (2ab)/(ab+1) < (2ab+2)/(ab+1)　=　2

よって 0 < (a^2+b^2)/(ab+1) < 2 より、

(a^2+b^2)/(ab+1) が整数であるならば その値は1に限られる。

1は平方数であるから、「整数であるならば平方数になる」は成立。

しかもそのとき、2ab/(ab+1) = 1 であることが必要で、

つまり　ab = 1　であるから、

題意の式が平方数となるのは a = b = 1 の場合だけしかない。

済まん、不等号の向きが逆だったわ。