R^2全体でリプシッツ連続で示せるのは
どこの近傍でも解がある
だけだと思うから
それをつなげてもどこまでつなげられるか保証が無い
ただ
そのように拡張して最大の定義域を取ったとき
それが有界なら
その端点では±∞に発散すると思う
（sin(1/x)みたく有界かつ発散なら端点の近傍で解があることに反するだろう）
定義域が無限に広い場合
無限に広い方向では有界になるかも