テンソルとは何か

正体不明

いみふめい

ちみもうりょう

あやかし

俺もわからず終わった
ヨビノリは動画の更新をしなくなった
永遠にわからなくなった

双対空間、部分空間、商空間、Tensor積空間、対称Tensor空間、交代Tensor空間、Tensor代数、Grassmann代数、微分形式、関手的操作、Canonicalな同型、普遍写像性質、

線型空間V, Wに対して、線型写像: V→Wの全体をHom(V, W)、これは線型空間となる。
準同型写像、ℂ代数

以後Vを有限次元線型空間とする。
Hom(V, ℂ)=V*をVの双対空間と言う。

V=ℂⁿの時、∀v∈V: v=(c₁, c₂, …, cₙ)とおける。xᵢ: v→cᵢはvの第i成分を取り出す写像であり、双対空間V*の元。
線型結合φ=a₁c₁+a₂c₂+…+aₙcₙもV*の元。
{x₁, x₂, …, xₙ}はV*の基底。V*はx₁, x₂, …, xₙの一次式で表される関数全体の集合

Vをn次元線型空間とし、Vの1つの基底を{v₁, v₂, …, vₙ}とする。φᵢ(vⱼ)=δᵢⱼを満たす線型写像φᵢは一意に定まる。

φᵢ(c₁v₁+c₂v₂+…+cᵢvᵢ+…+cₙvₙ)
線型性よら
=c₁φᵢ(v₁)+c₂φᵢ(v₂)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφᵢ(vₙ)
φの定義より(iは変数ではなく定数)
=c₁δ₁ᵢ+c₂δ₂ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ
δᵢⱼ=1 (i=j)、0 (i≠j)より
=cᵢ

{φ₁, φ₂, …, φₙ}はV*の基底をなし、dimV=dimV*
証明
線型独立であることと空間を張ることを示す。
線型関係c₁φ₁+…+cₙφₙ=0を考える

(c₁φ₁+…+cₙφₙ)vᵢ=0vᵢ=0
c₁φ₁(vᵢ)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφₙ(vᵢ)=0
c₁δ₁ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ=0
cᵢ=0、1≤i≤n
よって自明な線型関係しか存在しないので線型独立である

∀V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底

v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)∈V, ∀ψ∈V*: v=c₁v₁+…+cₙvₙとおける
ψ(v)=ψ(c₁v₁+…+cₙvₙ)=c₁ψ(v₁)+…+cₙψ(vₙ)
=φ₁(v)ψ(v₁)+…+φₙ(v)ψ(vₙ)
=(ψ(v₁)φ₁+ψ(vₙ)φₙ)v
vは任意なのでψ=ψ(v₁)φ₁+…+ψ(vₙ)φₙ
∈<φ₁, φ₂, …, φₙ>
よってψはφ₁, …, φₙによって張られる空間である。
線型独立であり余らない。必要性
張られるので足りている。十分性
証明終

V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底

v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)

>>1
ジェネレータの直積で生成されるものだよ

たったそれだけのことがめちゃくちゃ有用

関係式で潰して商代数を作れる

テンソルは頭おかしい
わけわからん
思いついたやつ頭おかしい

わからんやつ頭弱い

生成元と関係式の枠組みで捉えると簡単だよ
集合としては単に直和
唯一違うのは定数倍。直和だと全ての成分に定数がかかる。テンソル積では成分の1つに定数がかかる。

あとは使ってれば慣れる

あとは使いながら慣れる

添字を上げ下げするとわけわからなくなるｗ

軸性テンソル

何でも結構

ローレンツテンソル

ホイヨ
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Tensor
(google訳)
この記事は、スカラーとベクトルの概念を一般化した代数的オブジェクトについて説明しています。連続的に変化するテンソルの族については、「ベクトル場」および「テンソル場」を参照してください。その他の用法については、「テンソル（曖昧さ回避）」を参照してください。

（https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_(disambiguation)
数学
テンソル（本質的な定義）
テンソル場
テンソル積
テンソル（廃語）：ウィリアム・ローワン・ハミルトンの著作で四元数代数に用いられたノルム。古典的ハミルトン四元数§ テンソルを参照。
対称テンソルとは、ベクトル引数の置換に対して不変なテンソルのことである。）

数学において、テンソルは、ベクトル空間に関連付けられた代数オブジェクトの集合間の多重線形関係を記述する代数オブジェクトです。テンソルは、ベクトル、スカラー、さらには他のテンソルなど、さまざまなオブジェクト間を写像することができます。テンソルには、スカラーとベクトル（最も単純なテンソル）、双対ベクトル、ベクトル空間間の多重線形写像、さらにはドット積などの演算など、多くの種類があります。テンソルは基底とは独立して定義されますが、特定の座標系に関連付けられた基底における成分によって参照されることがよくあります。これらの成分は配列を形成し、これは高次元行列と考えることができます。

意味
一見異なって見えるが、テンソルを定義する様々なアプローチは、異なる言語と異なる抽象度を用いて、同じ幾何学的概念を記述している。

多次元配列として
テンソルは、（場合によっては多次元の）配列として表現できます。n次元空間のベクトルが、与えられた基底に関してn個の成分を持つ1次元配列で表されるのと同様に、基底に関する任意のテンソルは多次元配列で表されます。例えば、線形演算子は、基底においてn × nの2次元正方配列として表されます。多次元配列内の数値は、テンソルの成分または要素と呼ばれます。これらは、テンソルの記号名の後に、配列内の位置を示す添え字と上付き文字で表されます。例えば、 2階テンソルTの成分は、iとjが1からnまでの添え字であるT ij  、またはTと表すことができます。 ijインデックスが上付き文字として表示されるか下付き文字として表示されるかは、以下で説明するテンソルの変換特性によって決まります。

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor#/media/File:Tensor_dimensions.svg
Comparison of the first five orders of tensors

つづく

つづき

歴史
後のテンソル解析の概念は、カール・フリードリヒ・ガウスの微分幾何学の研究から生まれ、その定式化は19世紀半ばに発展した代数形式と不変量の理論に大きく影響を受けた。 [ 14 ] 「テンソル」という言葉自体は、現在テンソルと呼ばれるものとは異なるものを記述するために、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。 [ 15 ] [注3 ] ジョサイア・ウィラード・ギブスは、現代的な意味でのテンソルでもある二進代数と多進代数を導入した。[ 16 ]現代的な用法は、1898年にヴォルデマール・フォークトによって導入された。 [ 17 ]

テンソル計算は、1890 年頃にグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによって絶対微分計算というタイトルで開発され、1892 年に初めて発表されました。[ 18 ]リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900 年の古典的テキストMéthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (絶対微分計算の方法とその応用) の出版により、多くの数学者が利用できるようになりました。 [ 19 ]リッチの記法では、共変成分と反変成分を持つ「システム」を指しており、これは現代的な意味ではテンソル場として知られています。[ 16 ]

20世紀には、この分野はテンソル解析として知られるようになった。 1908年にヘルマン・ミンコフスキーが特殊相対性理論に応用し、時空の概念を発展させたことから、より広く受け入れられるようになった。[ 20 ] アルベルト・アインシュタインは、幾何学者マルセル・グロスマンから、大変苦労してテンソル解析について学んだ。[ 21 ] レヴィ＝チヴィタは、アインシュタインがテンソル解析の使用において犯した誤りを正すために、アインシュタインとの書簡のやり取りを開始した。この書簡のやり取りは1915年から1917年まで続き、相互の尊敬によって特徴づけられた。

アインシュタインの一般相対性理論は、テンソルの言葉で定式化された。

テンソルとテンソル場は、連続体力学などの他の分野でも有用であることがわかった。微分幾何学におけるテンソルのよく知られた例としては、計量テンソルやリーマン曲率テンソルなどの二次形式がある。19世紀半ばのヘルマン・グラスマンの外積代数は、それ自体がテンソル理論であり、非常に幾何学的であるが、微分形式の理論とともに、テンソル計算と自然に統一されるようになるまでにはしばらく時間がかかった。エリー・カルタンの研究により、微分形式は数学で使用される基本的なテンソルの種類の1つとなり、ハスラー・ホイットニーはテンソル積を普及させた。[ 16 ]

1920年代頃から、テンソルが代数トポロジーにおいて基本的な役割を果たしていることが認識されるようになった（例えば、キュ​​ンネスの定理など）。[ 23 ]同様に、抽象代数の多くの分野、特にホモロジー代数と表現論において、テンソルの型が用いられている。多重線形代数は、体から得られるスカラーよりも一般的に展開できる。例えば、スカラーは環から得られる。しかし、その場合、理論は幾何学的ではなく、計算はより技術的でアルゴリズム的ではない。[ 24 ]テンソルは、1960年代からモノイド圏の概念によって圏論 の中で一般化されている。 [ 25 ]
(引用終り)
以上

>>26 補足

個人的な話だが
私は、テンソルは アインシュタインの一般相対性理論のテンソルから入った
その後、Cauchy stress tensorに出会う

ベクトル、行列、行列式は 中学・高校時代から知っていた
大学学部の線形代数では、テンソルは出てこなかった
なので、ベクトル、行列、行列式 と テンソルとの統一した見方が いまいち構築できなかった

その後、数学史的に見ると、それぞればらばらに考えられて、ベクトル、行列、行列式で一旦一纏まりで扱うようになったことが分った

数学史的には
1）行列式が結構古く 連立方程式の解法として考えられた
2）用語Matrixは、1850年にSylvesterが考えた
3）ベクトルは、1878年 クリフォードが 「初めてベクトルの概念の現代的な形式化に類似した意味を与え、その後、より明確化され、充実される」と
4）テンソルは、>>27"現代的な用法は、1898年にヴォルデマール・フォークトによって導入された"とある

そういうわけで、線型代数学 Linear algebra が、Peanoの1888年ころから 20世紀前半にまとまってきて いまに至る
テンソルは、重要で関係が深いが 歴史的経緯で 線型代数学の外の扱いということ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
一般相対性理論
リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
時空の曲率は、レヴィ・チヴィタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル (Riemann tensor) R ρ σμν で表現される

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor
Cauchy stress tensor

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes
Tenseur des contraintes
応力テンソル
応力テンソルは、連続体力学において応力状態、すなわち媒体の変形部分間に作用する内部力を特徴づけるために用いられる2階テンソルである。この用語は、1822年頃にコーシーによって導入された。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
Determinant
History
Historically, determinants were used long before matrices: A determinant was originally defined as a property of a system of linear equations. The determinant "determines" whether the system has a unique solution (which occurs precisely if the determinant is non-zero). In Europe, solutions of linear systems of two equations were expressed by Cardano in 1545 by a determinant-like entity.[21]
Determinants proper originated separately from the work of Seki Takakazu in 1683 in Japan and parallelly of Leibniz in 1693.[22][23][24][25]

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
Matrix (mathematics)
History
This use of the term matrix in mathematics (an English word for "womb" in the 19th century, from Latin, as well as a jargon word in printing, in biology and in geology[194]) was coined by James Joseph Sylvester in 1850,[195] who understood a matrix as an object giving rise to several determinants today called minors, that is to say, determinants of smaller matrices that derive from the original one by removing columns and rows.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur
Vecteur
Histoire
Formalisations
(google訳)
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、複素数がユークリッド平面を表していることに気づいた。彼は人生の10年間を費やして[ 32 ] 3次元の等価物を探し求め、ついに1843年に4次元の四元数体を発見した。彼は「ベクトル」と「スカラー」という言葉に2つの新しい定義を提案した。彼にとって、ベクトルとは四元数の3次元部分集合の要素である。
1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは著書『力学の基礎』 の中で、四元数の概念を再検討し、簡略化した。彼は特に、 2つのベクトルの内積と外積を導入した。このアプローチにより、ベクトルをより高度な計算に利用することが可能になった。
この2番目のアプローチは、初めてベクトルの概念の現代的な形式化に類似した意味を与え、その後、より明確化され、充実される。それは、ベクトルをベクトル空間の要素として定義することからなる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
線型代数学
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra
Linear algebra
History
The first modern and more precise definition of a vector space was introduced by Peano in 1888;[5] by 1900, a theory of linear transformations of finite-dimensional vector spaces had emerged. Linear algebra took its modern form in the first half of the twentieth century when many ideas and methods of previous centuries were generalized as abstract algebra.
(引用終り)
以上

Algebra Volume I van der Waerden
のChapter 4 Vector spaces and Tensor spaces で
4.6に Tensors
4.7に Antismmetric multilinear forms and Determinants
4.8に Tensor Products, Contractrion, and Trace
がある

おそらく 意図は 4.6 Tensors 導入から
4.7 で Matrix を導入して 続いて Determinants を説いている
なので現代風ならば 線形代数で論じる事項について
Tensors を ベースに使って 簡便に説いているようだ
実際、Volume II であらためて 線形代数の12章を設けて説いている（下記）

(参考)
https://www.google.co.jp/books/edition/Algebra/XDN8yR8R1OUC?hl=ja&gbpv=0
Algebra
Volume I
作成者: B.L. van der Waerden、 Emil Artin、 Emmy Noether · 2003
公開日： 2003年10月21日
形式： ペーパーバック
出版社： Springer New York
言語： 英語
作者： B.L. van der Waerden、 Emil Artin、 Emmy Noether
翻訳者： F. Blum、 J.R. Schulenberg

https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-02-9780387406251
紀伊国屋書店
ファンデルヴェルデン著／代数学ＩＩ
Algebra, Volume II
Waerden, Bartel L. van der
Springer（2003発売）
基本説明
Based in part on lectures by E. Artin and E. Noether. Originally published by Frederick Ungar Publishing, New York 1970. 1st ed. 1991. 1st softcover printing, 1991.
Contents: 12. Linear Algebra; 13. Algebras; 14. Representation Theory of Groups and Algebras; 15. General Ideal Theory of Commutative Rings; and more.

(参考)
(google検索)
テンソルと行列式
AI による概要
テンソルと行列式は、多次元の数量や線形代数を扱う上で密接に関係している重要な概念です。
行列式は正方行列（2階テンソル）に対して定義されるスカラー値であり、空間の拡大率や体積の変化を表しますが、高次元のテンソルや座標変換の文脈では「テンソル密度」や計量テンソルの行列式（\(g = \det(g_{\mu\nu})\)）として自然に拡張されます。
テンソルと行列式の基本関係
行列（2階テンソル）の行列式: 2階の正方行列 \(A\) に対し、その行列式 \(\det(A)\) は固有値の積や面積・体積のスケール因子を表します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル（英語: tensor, ドイツ語: Tensor）
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。

とくに、古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。

雪江本
代数学2 2.11　テンソル積 「この節では環は可換と仮定しない」と始る
この後、2.14　完全系列と局所化で、このテンソル積を使う（多分これを意図した”2.11　テンソル積”の配置だろう）

代数学3 ”第４章　テンソル代数と双線形形式4.1　テンソル代数・対称代数・外積代数”とあり
この後、kを可換環として 「Vをk加群とする」と始る。つまり ここでは 環上の加群でなく もっと一般のk加群のテンソル積を扱う テンソル代数を論じる

どこにも、「テンソルとは何か？」の定義や記述はない
それは、数理哲学としては意味があるのだろうが 雪江代数学としては どうでもいい話なのかも （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/author/3231.html
日本評論社
雪江　明彦
プロフィール
1957年山梨県甲府市生まれ。1980年東京大学理学部数学科を卒業。1986年ハーバード大学にてPh.D.を取得。ブラウン大学、オクラホマ州立大学、プリンストン高等研究所、ゲッチンゲン大学、オクラホマ州立大学、東北大学大学院理学研究科を経て、現在、東北大学名誉教授、京都大学名誉教授。専門は、幾何学的不変式論、解析的整数論。
（2024年1月現在）

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/9166.html
代数学2　環と体とガロア理論［第２版］発刊年月 2023.11
目次
第２章　環上の加群
2.10　ネーター環上の加群
2.11　テンソル積
2.12　双対加群
2.13　単項イデアル整域上の有限生成加群
2.14　完全系列と局所化

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/9230.html
代数学3　代数学のひろがり［第２版］発刊年月 2024.03
内容紹介
テンソル代数、無限次ガロア拡大など、諸分野で必要となる発展的な話題を扱う。長く読みつがれた旧版を、さらに充実させ第2版化。
目次
第４章　テンソル代数と双線形形式
4.1　テンソル代数・対称代数・外積代数
4.2　双線形形式
4.3　恒等式の証明
4.4　2次形式
4.5　直交群
4.6　ヴィット分解
4.7　交代形式
4.8　対称形式と2次形式の違い
4章の演習問題

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦のホームページ
代数の教科書について
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
教科書の 用語について (2012/7/7更新)

>>30
>Algebra Volume I van der Waerden
>のChapter 4 Vector spaces and Tensor spaces で
>4.6に Tensors

補足
この 4.6 Tensorsの最後に
"Following Einstein, we therefore also refer to covectors and vectors as covariant and contravariant vectors.
　Finally, we can consider the mixed tensors t. They are defined as multilinear forms whose arguments consist of both vectors and covectors, for ezample."
(google訳)
したがって、アインシュタインにならい、我々はコベクトルとベクトルを、それぞれ共変ベクトルおよび反変ベクトルとも呼びます。
最後に、混合テンソル $t$ を考えることができます。これらは、例えばベクトルとコベクトルの双方を引数にとる多重線形形式として定義されます。


とある。つまり、Einsteinが 一般相対性理論で使ったテンソルがもとネタだという
そして
”Chapter 4 Vector spaces and Tensor spaces”
4.6 Tensors”
だが、Tensor spaces の明確な記述がない

そこで後の索引を見ると Tensor space 74 とある
P74 でそれらしき記述は 下段の
"・・ in Section 4.3. They form a vector space of demension n^2. The elemnts of this space are called tensor or, more precisely, covariant tensors of rank two."
(google訳)
この空間の要素はテンソル、より正確には階数2の共変テンソルと呼ばれます。
とある

なので、Vector spaces の elemntsが vectorsで
”The elemnts of this space are called tensor”から 逆に辿ると
”They form a vector space of demension n^2”が、ここでの Tensor space だとなる

まあ、大雑把な話で 最後は”Following Einstein”と言って逃げていて
4.6 Tensorsの中では ”They form a vector space of demension n^2”と 具体的な記述で
それは 双線形から導かれるのだが そこから Tensorsと Tensor spacesだといっている

>>32 の雪江本の 緻密だが 抽象的な 現代数学のテンソル積や テンソル代数
の記述に比べると いかにも時代の流れを感じる

まあ、言いたいことは 時代と筆者によって 論じる ”テンソル”の定義が かなり違う
”テンソル”の概念も 21世紀の現代数学では かなり広がっているので
時代と筆者によって 「この筆者のテンソルの意味はこれだな」と うまく把握しないと
読む方は 結構混乱させられるってことですね
（結構混乱させられた人が ここに一人います（＾＾；）

テンソルわからん
何度反復してもわからん

斜行座標系の内積と計量テンソル

>>35
訂正: 斜行 → 斜交

こういう難敵は高校からコツコツ教えてくれ
いきなり出現させるな

>>5
生成元と基本関係で群を定義するにあたって
(a,b)+(a',b)=(a+a',b)
(a,b)+(a,b')=(a,b+b')
k(a,b)=(ka,b)=(a,kb)
と関係を入れたやつでしょ
左右の積が違う場合は
k(a,b)=(ka,b)
(ak,b)=(a,kb)
(a,bk)=(a,b)k
とする

>>38
>k(a,b)=(ka,b)=(a,kb)
R加群の場合（k∈R：一般の可換環）

>>28
>個人的な話だが
>私は、テンソルは アインシュタインの一般相対性理論のテンソルから入った
>その後、Cauchy stress tensorに出会う

現代的な テンソル 圏論 の話 下記
多分、いまや テンソルは 物理にも広がっている（というかもともと物理由来かな）
なので、数学用語というよりも 数学＆物理用語と思った方が良いだろう
厳密な すべてに通用するテンソルの定義は、存在しないと思った方が正解かもねｗ

(参考)
(google検索)
テンソル 圏論 pdf 大学
AI による概要
大学の講義ノートや研究機関の公開資料から、テンソル圏（モノイダル圏）や圏論の基礎を学べる代表的な日本語のPDF資料を厳選しました。
学習の進捗段階（圏論の基礎から、テンソル圏への応用まで）に合わせて選ぶのがおすすめです。
1.圏論の基礎を学ぶ（入門・大学講義ノート）テンソル圏を理解するには、まず通常の「圏」や「関手（かんしゅ）」の概念が必要です。
・圏と関手 - 千葉大学理学部 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
　特徴: 圏論を初めて学ぶ学生向けに書かれた非常に丁寧な解説です。ホモロジー代数などを念頭に置いていますが、言葉の定義から具体例まで分かりやすく、最初のステップに最適です。
・圏と関手入門 - 名古屋大学 https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hasimoto/paper/class/cat10.pdf
　特徴: 基本的な圏の定義から始まり、随伴関手や極限といった圏論の核心的な概念までをカバーしている講義ノートです。数学的な共通現象をどう抽象化するかが学べます。

2. テンソル圏（モノイダル圏）と物理・作用素環への応用
テンソル圏（数学ではモノイダル圏とも呼ばれる）は、場の量子論やトポロジカル物性、作用素環論などの最先端分野で強力な道具として使われています
・新しい対称性と作用素環，数理物理学 - 東京大学 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/oka2025a.pdf
　著者: 河東泰之 教授
　特徴: テンソル圏がどのような数学的・代数的構造の表現論として現れるか、またそれが「場の量子論」にどう結びつくかを俯瞰できる解説です。最先端の研究者がどのような視点でテンソル圏を扱っているかが分かります。
・フュージョン圏の研究と作用素環論 - 東京大学（研究概要）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/rep26.pdf
　特徴: 2次元トポロジカル物性物理学における「テンソルネットワーク」や「フュージョン圏（有限テンソル圏の一種）」と作用素環論の繋がりに触れられています。 [1] (https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/rep26.pdf)

次のステップに向けて
現在、どのような分野（純粋数学、量子物理、計算機科学など）への応用を目的としてテンソル圏を調べていますか？
目的の専門分野や、現在の数学のバックグラウンド（線形代数まで既習、など）を教えていただければ、さらに最適な文献や書籍をご提案できます

（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）

>>41
>（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）

レスありがとう
だが、
圏Setは、集合を対象とする圏の一番素朴な圏で（下記）
要するに 圏Setでは モノイダル圏と異なり”積”が 未定義

一方 モノイダル圏は、雑にいえば モノイドを圏論化したものだろう
モノイド圏は、テンソル積を導入している
テンソル圏という別名は ここからだろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論である
圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F
集合の圏
集合の圏（英: category of sets）Set (あるいは
Sets などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 A, B に対して f: A → B を任意の写像とするとき、(f, A, B) の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。
略
他に多くの具体圏（英語版）と呼ばれる圏（例えば 群の圏（対象は群で、射は群準同型）など）は、集合の圏の対象に構造を加えたものを対象とし、射は特定の種類の写像に制限したものを考えることによって与えられる

圏論の基礎付け
ツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない（これは基礎の公理から従う）。集合でない集まりのことを真の類と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は（集合あるいは真の類の何れの意味でも）集まりに属するものと書けない。これは問題である、というのもこのような設定の下では集合の圏を直接的に定式化することができないことを意味するからである。

そのような問題を解決する一つの方法は、正しく真の類を扱うことのできる体系（例えばNBG集合論）の中で議論することである。この設定において、集合から構成される圏は小さいといい、集合の圏 Set のように真の類を成すような圏は大きいと言う。

別な解決法としてはグロタンディエック宇宙の存在を仮定することが挙げられる。厳密さをさておけば、グロタンディエック宇宙とはそれ自身が ZF(C) のモデルとなるような集合をいう（例えば、ある集合が一つの宇宙に属するならば、その任意の元も同じ宇宙に属し、あるいはその冪集合もまた同じ宇宙に属する）。グロタンディエック宇宙の存在性は（空集合の存在および遺伝的有限集合全体の成す集合 Vω の存在を除いて）通常の ZF の公理系からは導かれない。すなわちグロタンディエック宇宙の存在は追加の独立な公理であって、おおまかには強到達不能基数と同値である。
略

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_sets
Category of sets

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89
モノイド
モノイド（英: monoid）とは、単位元を有する半群（単位的半群、単系）である [1] [2] [3] [4] 。
基本的には、群論における半群論の研究対象の範疇に属し、単位元と結合法則を有するマグマと見ることもできる。

この概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ[5]、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。圏は一般的に恒等射を有し、射は結合法則を満たすことから、これがモノイドにおける単位元の存在と結合法則に反映されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Monoid
Monoid

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F
モノイド圏（英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な双函手（英語版） ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件（英語版）（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない[1]。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。

ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。

圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。

モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、組み紐モノイド圏（英語版）は場の量子論やひも理論に応用をもつ。

形式的定義
モノイド圏 (C, ⊗, I, α, λ, ρ) は、以下に挙げる構造を備える圏 C を言う:
・テンソル積あるいはモノイド積と呼ばれる双函手 ⊗: C × C → C,
・モノイド単位あるいは単位対象と呼ばれる対象 I,
・テンソル積が以下の条件を満足するという事実を表す、ある種の整合性条件を満足する三つの自然同型 α および λ, ρ:
　結合律: 略
　左単位律および右単位律: 成分がそれぞれ
　略

https://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_category
Monoidal category
In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category
C equipped with a bifunctor
略
(引用終り)
以上

setAは変なミスリードしに来るなよ。

>>44
すまんかった
もっとハッキリ書いた方が良かったかな？ｗ（＾＾

誤：（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）
　↓
正：（Setは単なる集合の圏で積の定義なし。一方モノイダル圏即ちテンソル圏はテンソル積が定義された圏である。集合の圏Setは、なんらの積も定義されていないので、テンソル積が定義された圏であるモノイダル圏即ちテンソル圏とは、全く異なる圏である■）

Setの積は直積集合

Setの単位元は1元集合（どれでも良い）

だいたい
普通の加群のテンソル積も
A¥otimes B
はA×B上生成された加群に関係式入れたものなんだから
(A¥otimes B)¥otimes C
と
A¥otimes (B¥otimes C)
には自然同型しかない
集合の直積同様それを前提に同一視して
A¥otimes B¥otimes C
と書いているだけ

（圏論生かじりみたいね）

「テンソルとは何か」に別に圏論はいらねー

>>50
座標系とは何か？のほうがテンソルのテーマに相応しい。

テンソルの座標変換と不変量

相対論ではテンソルで表せば座標依存じゃなくなるように言うことがあるけど、
実際は接空間（と微分形式）で表しているから座標依存性がなくなっている

「淡中圏（テンサー圏）とは何か」なら
基底の取り換えを根の取り換えに置き換えられるか？。がテーマに相応しい。