つづき

歴史
後のテンソル解析の概念は、カール・フリードリヒ・ガウスの微分幾何学の研究から生まれ、その定式化は19世紀半ばに発展した代数形式と不変量の理論に大きく影響を受けた。 [ 14 ] 「テンソル」という言葉自体は、現在テンソルと呼ばれるものとは異なるものを記述するために、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。 [ 15 ] [注3 ] ジョサイア・ウィラード・ギブスは、現代的な意味でのテンソルでもある二進代数と多進代数を導入した。[ 16 ]現代的な用法は、1898年にヴォルデマール・フォークトによって導入された。 [ 17 ]

テンソル計算は、1890 年頃にグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによって絶対微分計算というタイトルで開発され、1892 年に初めて発表されました。[ 18 ]リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900 年の古典的テキストMéthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (絶対微分計算の方法とその応用) の出版により、多くの数学者が利用できるようになりました。 [ 19 ]リッチの記法では、共変成分と反変成分を持つ「システム」を指しており、これは現代的な意味ではテンソル場として知られています。[ 16 ]

20世紀には、この分野はテンソル解析として知られるようになった。 1908年にヘルマン・ミンコフスキーが特殊相対性理論に応用し、時空の概念を発展させたことから、より広く受け入れられるようになった。[ 20 ] アルベルト・アインシュタインは、幾何学者マルセル・グロスマンから、大変苦労してテンソル解析について学んだ。[ 21 ] レヴィ＝チヴィタは、アインシュタインがテンソル解析の使用において犯した誤りを正すために、アインシュタインとの書簡のやり取りを開始した。この書簡のやり取りは1915年から1917年まで続き、相互の尊敬によって特徴づけられた。

アインシュタインの一般相対性理論は、テンソルの言葉で定式化された。

テンソルとテンソル場は、連続体力学などの他の分野でも有用であることがわかった。微分幾何学におけるテンソルのよく知られた例としては、計量テンソルやリーマン曲率テンソルなどの二次形式がある。19世紀半ばのヘルマン・グラスマンの外積代数は、それ自体がテンソル理論であり、非常に幾何学的であるが、微分形式の理論とともに、テンソル計算と自然に統一されるようになるまでにはしばらく時間がかかった。エリー・カルタンの研究により、微分形式は数学で使用される基本的なテンソルの種類の1つとなり、ハスラー・ホイットニーはテンソル積を普及させた。[ 16 ]

1920年代頃から、テンソルが代数トポロジーにおいて基本的な役割を果たしていることが認識されるようになった（例えば、キュ​​ンネスの定理など）。[ 23 ]同様に、抽象代数の多くの分野、特にホモロジー代数と表現論において、テンソルの型が用いられている。多重線形代数は、体から得られるスカラーよりも一般的に展開できる。例えば、スカラーは環から得られる。しかし、その場合、理論は幾何学的ではなく、計算はより技術的でアルゴリズム的ではない。[ 24 ]テンソルは、1960年代からモノイド圏の概念によって圏論 の中で一般化されている。 [ 25 ]
(引用終り)
以上