テンソルとは何か

>>28
>個人的な話だが
>私は、テンソルは アインシュタインの一般相対性理論のテンソルから入った
>その後、Cauchy stress tensorに出会う

現代的な テンソル 圏論 の話 下記
多分、いまや テンソルは 物理にも広がっている（というかもともと物理由来かな）
なので、数学用語というよりも 数学＆物理用語と思った方が良いだろう
厳密な すべてに通用するテンソルの定義は、存在しないと思った方が正解かもねｗ

(参考)
(google検索)
テンソル 圏論 pdf 大学
AI による概要
大学の講義ノートや研究機関の公開資料から、テンソル圏（モノイダル圏）や圏論の基礎を学べる代表的な日本語のPDF資料を厳選しました。
学習の進捗段階（圏論の基礎から、テンソル圏への応用まで）に合わせて選ぶのがおすすめです。
1.圏論の基礎を学ぶ（入門・大学講義ノート）テンソル圏を理解するには、まず通常の「圏」や「関手（かんしゅ）」の概念が必要です。
・圏と関手 - 千葉大学理学部 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
　特徴: 圏論を初めて学ぶ学生向けに書かれた非常に丁寧な解説です。ホモロジー代数などを念頭に置いていますが、言葉の定義から具体例まで分かりやすく、最初のステップに最適です。
・圏と関手入門 - 名古屋大学 https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hasimoto/paper/class/cat10.pdf
　特徴: 基本的な圏の定義から始まり、随伴関手や極限といった圏論の核心的な概念までをカバーしている講義ノートです。数学的な共通現象をどう抽象化するかが学べます。

2. テンソル圏（モノイダル圏）と物理・作用素環への応用
テンソル圏（数学ではモノイダル圏とも呼ばれる）は、場の量子論やトポロジカル物性、作用素環論などの最先端分野で強力な道具として使われています
・新しい対称性と作用素環，数理物理学 - 東京大学 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/oka2025a.pdf
　著者: 河東泰之 教授
　特徴: テンソル圏がどのような数学的・代数的構造の表現論として現れるか、またそれが「場の量子論」にどう結びつくかを俯瞰できる解説です。最先端の研究者がどのような視点でテンソル圏を扱っているかが分かります。
・フュージョン圏の研究と作用素環論 - 東京大学（研究概要）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/rep26.pdf
　特徴: 2次元トポロジカル物性物理学における「テンソルネットワーク」や「フュージョン圏（有限テンソル圏の一種）」と作用素環論の繋がりに触れられています。 [1] (https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/rep26.pdf)

次のステップに向けて
現在、どのような分野（純粋数学、量子物理、計算機科学など）への応用を目的としてテンソル圏を調べていますか？
目的の専門分野や、現在の数学のバックグラウンド（線形代数まで既習、など）を教えていただければ、さらに最適な文献や書籍をご提案できます

（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）

>>41
>（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）

レスありがとう
だが、
圏Setは、集合を対象とする圏の一番素朴な圏で（下記）
要するに 圏Setでは モノイダル圏と異なり”積”が 未定義

一方 モノイダル圏は、雑にいえば モノイドを圏論化したものだろう
モノイド圏は、テンソル積を導入している
テンソル圏という別名は ここからだろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論である
圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F
集合の圏
集合の圏（英: category of sets）Set (あるいは
Sets などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 A, B に対して f: A → B を任意の写像とするとき、(f, A, B) の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。
略
他に多くの具体圏（英語版）と呼ばれる圏（例えば 群の圏（対象は群で、射は群準同型）など）は、集合の圏の対象に構造を加えたものを対象とし、射は特定の種類の写像に制限したものを考えることによって与えられる

圏論の基礎付け
ツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない（これは基礎の公理から従う）。集合でない集まりのことを真の類と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は（集合あるいは真の類の何れの意味でも）集まりに属するものと書けない。これは問題である、というのもこのような設定の下では集合の圏を直接的に定式化することができないことを意味するからである。

そのような問題を解決する一つの方法は、正しく真の類を扱うことのできる体系（例えばNBG集合論）の中で議論することである。この設定において、集合から構成される圏は小さいといい、集合の圏 Set のように真の類を成すような圏は大きいと言う。

別な解決法としてはグロタンディエック宇宙の存在を仮定することが挙げられる。厳密さをさておけば、グロタンディエック宇宙とはそれ自身が ZF(C) のモデルとなるような集合をいう（例えば、ある集合が一つの宇宙に属するならば、その任意の元も同じ宇宙に属し、あるいはその冪集合もまた同じ宇宙に属する）。グロタンディエック宇宙の存在性は（空集合の存在および遺伝的有限集合全体の成す集合 Vω の存在を除いて）通常の ZF の公理系からは導かれない。すなわちグロタンディエック宇宙の存在は追加の独立な公理であって、おおまかには強到達不能基数と同値である。
略

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_sets
Category of sets

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89
モノイド
モノイド（英: monoid）とは、単位元を有する半群（単位的半群、単系）である [1] [2] [3] [4] 。
基本的には、群論における半群論の研究対象の範疇に属し、単位元と結合法則を有するマグマと見ることもできる。

この概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ[5]、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。圏は一般的に恒等射を有し、射は結合法則を満たすことから、これがモノイドにおける単位元の存在と結合法則に反映されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Monoid
Monoid

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F
モノイド圏（英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な双函手（英語版） ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件（英語版）（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない[1]。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。

ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。

圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。

モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、組み紐モノイド圏（英語版）は場の量子論やひも理論に応用をもつ。

形式的定義
モノイド圏 (C, ⊗, I, α, λ, ρ) は、以下に挙げる構造を備える圏 C を言う:
・テンソル積あるいはモノイド積と呼ばれる双函手 ⊗: C × C → C,
・モノイド単位あるいは単位対象と呼ばれる対象 I,
・テンソル積が以下の条件を満足するという事実を表す、ある種の整合性条件を満足する三つの自然同型 α および λ, ρ:
　結合律: 略
　左単位律および右単位律: 成分がそれぞれ
　略

https://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_category
Monoidal category
In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category
C equipped with a bifunctor
略
(引用終り)
以上

setAは変なミスリードしに来るなよ。

>>44
すまんかった
もっとハッキリ書いた方が良かったかな？ｗ（＾＾

誤：（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）
　↓
正：（Setは単なる集合の圏で積の定義なし。一方モノイダル圏即ちテンソル圏はテンソル積が定義された圏である。集合の圏Setは、なんらの積も定義されていないので、テンソル積が定義された圏であるモノイダル圏即ちテンソル圏とは、全く異なる圏である■）

Setの積は直積集合

Setの単位元は1元集合（どれでも良い）

だいたい
普通の加群のテンソル積も
A¥otimes B
はA×B上生成された加群に関係式入れたものなんだから
(A¥otimes B)¥otimes C
と
A¥otimes (B¥otimes C)
には自然同型しかない
集合の直積同様それを前提に同一視して
A¥otimes B¥otimes C
と書いているだけ

（圏論生かじりみたいね）

「テンソルとは何か」に別に圏論はいらねー

>>50
座標系とは何か？のほうがテンソルのテーマに相応しい。

テンソルの座標変換と不変量

相対論ではテンソルで表せば座標依存じゃなくなるように言うことがあるけど、
実際は接空間（と微分形式）で表しているから座標依存性がなくなっている

「淡中圏（テンサー圏）とは何か」なら
基底の取り換えを根の取り換えに置き換えられるか？。がテーマに相応しい。