スキーム理論と座標幾何の対応

Ωを代数閉体とする

Ω[X] = Ω[X1, ..., Xn]を多項式環とする
I⊂Ω[X]をイデアルとする
V(I) := {P∈Ω^n | f(P) = 0 (∀f∈I)}とする

逆にV⊂Ω^nとして
I(V) := {f∈Ω[X] | f(P) = 0 (∀P∈V)}とする
Ω[V] := Ω[X]/I(V)とする

V⊂Ω^nに、V(I) (I⊂K[V] イデアル)の形の部分集合を閉集合とする位相を入れる
この位相に関して既約ならVをアフィン代数多様体という

V⊂Ω^nをアフィン代数多様体とする
I(V)は素イデアルになる
Vの既約閉集合の集合は、Ω[V]の素イデアルの集合と1対1対応
これをSpec(Ω[V])と書く

V⊂Ω^n、W⊂Ω^mをアフィン代数多様体とする
それぞれの座標をX = (X1, ..., Xn), Y = (Y1, ..., Ym)と書く
環準同型φ: Ω[W] → Ω[V] があって、f(X) = (φ(Y1), ..., φ(Ym)) と書けるf: V → Wをアフィン代数多様体の射という

f: V →Wをアフィン代数多様体の射とする
f: Spec(Ω[V]) → Spec(Ω[W])が、P⊂Ω[V] 素イデアルに対して、φ^(-1)(P)で定まる

代数幾何系の人は一瞬で翻訳できるのか
それとも座標幾何からスキーム論への流れを必要に応じて思い出してるのか

スキームミルクのスペック

>>6
射影幾何を挟んでイメージした方が容易ではないだろうか？。

V⊂Ω^nをアフィン代数多様体
k⊂Ωを部分体
k[V] := k[X]/(I(V)∩k[X])とする

P∈Vとする
P'∈Vが、∀f∈k[V], f(P) ⇒ f(P') (i.e. P'∈closure(P))
をみたすなら、P'はPの特殊化、PはP'の一般化という

P∈Vの特殊化全体をLoc(P)と書く
Loc(P) = {P}ならPはVのk-有理点という
Loc(P) = VならPはVのk-生成点という

F(X, Y) = X^2 + Y^2 - 1
V: F(X, Y) = 0 (X, Y∈ℂ)
C∼ := Spec(ℂ[X, Y]/(F))
C := Spec(ℚ[X, Y]/(F))

k有理点は射Spec(k) → Xと一対一対応

>>10
V: X^2 + Y^2 - 1 = 0にて

(1/e, √(1 - 1/e^2)) は、ℚ-生成点
Spec(ℚ[V])の点としては、ℚ[V]の素イデアル (0) に対応

(cos(2πr), sin(2πr)) (r ∉ 1/4 ℤ)は、←のℚ上の共役からなる点を特殊化に持つ
cos(2πr)のℚ上の最小多項式をfとして、ℚ[V]の素イデアル (f(X)) に対応

((1 - t^2)/(1 + t^2), 2t/(1 + t^2)) (t∈ℚ)は、ℚ-有理点
ℚ[V]の極大イデアル (X - (1 - t^2)/(1 + t^2), Y - 2t/(1 + t^2)) に対応

で、それらの機能が全部可換環の射に自然にエンコードされてるのがスキーム論

Proj constructionを使えば、ブローアップや射影空間の直線束が簡単に記述できる

P^2内の aX^2 + bY^2 + cZ^2 + dXY + eYZ + fZX = 0は、[a : b : c : d : e : f]がP^5を動くときに色々な二次曲線になるが、X^2 = 0も二次曲線であってほしい