スキーム理論と座標幾何の対応

V⊂Ω^nをアフィン代数多様体
k⊂Ωを部分体
k[V] := k[X]/(I(V)∩k[X])とする

P∈Vとする
P'∈Vが、∀f∈k[V], f(P) ⇒ f(P') (i.e. P'∈closure(P))
をみたすなら、P'はPの特殊化、PはP'の一般化という

P∈Vの特殊化全体をLoc(P)と書く
Loc(P) = {P}ならPはVのk-有理点という
Loc(P) = VならPはVのk-生成点という

F(X, Y) = X^2 + Y^2 - 1
V: F(X, Y) = 0 (X, Y∈ℂ)
C∼ := Spec(ℂ[X, Y]/(F))
C := Spec(ℚ[X, Y]/(F))

k有理点は射Spec(k) → Xと一対一対応

>>10
V: X^2 + Y^2 - 1 = 0にて

(1/e, √(1 - 1/e^2)) は、ℚ-生成点
Spec(ℚ[V])の点としては、ℚ[V]の素イデアル (0) に対応

(cos(2πr), sin(2πr)) (r ∉ 1/4 ℤ)は、←のℚ上の共役からなる点を特殊化に持つ
cos(2πr)のℚ上の最小多項式をfとして、ℚ[V]の素イデアル (f(X)) に対応

((1 - t^2)/(1 + t^2), 2t/(1 + t^2)) (t∈ℚ)は、ℚ-有理点
ℚ[V]の極大イデアル (X - (1 - t^2)/(1 + t^2), Y - 2t/(1 + t^2)) に対応

で、それらの機能が全部可換環の射に自然にエンコードされてるのがスキーム論

Proj constructionを使えば、ブローアップや射影空間の直線束が簡単に記述できる

P^2内の aX^2 + bY^2 + cZ^2 + dXY + eYZ + fZX = 0は、[a : b : c : d : e : f]がP^5を動くときに色々な二次曲線になるが、X^2 = 0も二次曲線であってほしい