数学基礎論・数理論理学　その20

ゲスですw

>>160
はぁ>>149ですね

>>163
伝わっていなかったでしょう？
反省してます

>>157
> ID:3JCgs0F5
はいつものゲスか

>>165
そうでゲスw

>>142
>VBの存在が保証されそれは∪VBαと一致する
この書き方だと、なぜVBの存在が保証され、なぜ∪VBαと一致するのか分からない。だって一方的に保証されるだの一致するだの言ってるだけじゃん。
君、日本語不自由？

>>168
VBはcolimVBαと考えざるを得ないがそれは存在が怪しい
α<β→VBα⊂VBβ
であるように定義することができるため
この場合
VB=colimVBα=∪VBα
つまりクラスとして存在が保証されると言うこと

日本語不自由な人はチラシの裏でどうぞ　掲示板に出てきちゃダメ

>>167
今回はゲスで何より

そうそう、俺みたいに語尾にゲスが付いてしまうような人はダメでゲスよw

>>162
また切り取りですね
>>155では
>自分が切り取って麦わら論法していたことは認めたようですね
と書いてます
切り取っていることは認めたのでは？
それは麦わら論法ですよ

>>169
そういうことを言ってるんじゃないんだよ
後から追加説明が必要な書き方するな、必要な説明は最初から書け、何が必要かは自分で考えろって言ってるの

測度論を例の30講ある本で学んでいるが、第10講で止まっている。
勉強がうまく行けば、また作問でもするんで宜しくでゲス。

>>173
>切り取っていることは認めたのでは？
切り取りが必要になったそもそもの原因はおまえの書き方が悪いから

>それは麦わら論法ですよ
短絡すぎ

意図が伝わらない書き方をそのまま引用するとますます意図が伝わらないから切り取らざるを得ない
そもそもの原因はおまえにある　他責思考やめろ

切り取り屋さんですね
反省してます

結局これ分かってくれる人は切り取り屋さん以外に居ないんだろうか
VB0=φ
VB1=B^VB0={φ}
ここではVB0=φなので通常の写像の定義で問題ない
VB2=B^VB1
が自然に
VB1⊂VB2
となるようにするため写像の定義はsource≠domainも容認することで自然と
X⊂Y→A^X⊂A^Y
となるので
VB1=B^VB0⊂B^VB1=VB2
が言え
VBω=∪VBn
が
VBn⊂VBω
であるように存在すると保証できる
よって
VBn⊂VBn+1=B^VBn⊂B^VBω=VBω+1
より
VBω=∪VBn⊂VBω+1
も言える
以下後続順序数極限順序数いずれに於いても
α<β→VBα⊂VBβ
であるように定義できるため
VB=∪VBα
の存在が保証できる
source=domainの通常の写像の定義を採用する限り
i:VBα→VBα+1:monic
で同一視をする他は無く
VB=colimVBα
と定義することになるのだが
colimVBα={(α,x)|α∈Ord, x∈VBα}/〜
(α,x)〜(α+1,i(x))
αが極限順序数の場合
β<α
について
i:VBβ→colimVBβ=VBα
(β,x)〜(α,i(x))
（を同値関係に拡張）
は同値類が集合では無いクラスであるため存在が怪しい

これも>>94
B=2
のときも
V0=φ
V1=P(V0)={φ}=2^V0
V0⊂2^V0
ここまではいいが
V2=P(V1)と2^V1は異なるものであり
全単射で対応があるだけ
V0⊂V1
から
V1=P(V0)⊂P(V1)=V2
は自然に出るが
2^V0
は
2^V1
の部分集合では無く
i:2^V0→2^V1:monic
があるだけなのを
V1⊂V2
と見なせるように
V2と2^V1
の全単射が定義される
以下同様
V=∪Vα
なのは
Vα⊂Vα+1
αが極限順序数なら
Vα=∪{Vβ|β<α}
だからだけれど
この
Vα+1=P(Vα)
の定義をこのままでは
Vα+1=2^Vα
にはできないわけ
そこで写像の定義をsource≠domainである本来の形に戻した上で自然に
Vα⊂Vα+1
とするならば
B=2
の場合でもできるものはVになるってこと

>>180
>の場合でもできるものはVになるってこと
Vと全単射なクラス
ね
B=2のとき
VB0=φ=V0
VB1={φ}=V1
ここまでは完全に一致
VB2=2^VB1=2^V1⇔P(V1)=V2:全単射
VB3=2^VB2⇔2^V2⇔P(V2)=V3:全単射
以下同様に
VB⇔V:全単射
となる

B=2
のとき
VB=V2
と書くことにする（Vと全単射のあるVの部分クラス）
一般のbool代数Bで
V≠⊃VB=∪VBα≠⊃∪V2α=V2⇔V
VBはもちろんVの部分クラスだが
Vと同等のV2を真の部分クラスに持つようなクラスなので
ある意味Vを拡張したものと考えることができる

>>179
チラシの裏でやれ

チラシの裏に「ゲス」と書くでゲスw

通常A^Xはsource=domainの写像の全体を意味するので
source≠domainである写像の全体でこれと同等にするため
Bが基点*付き集合の場合（bool代数なら0が基点）
XからB＼*へのsource≠domainである写像の全体
B^X={f∈P(X×(B＼*))|(x,y),(x,z)∈f→y=z}
と再定義せねばならなかったのを忘れていた
Xをdomainとする写像をsupp(f)に制限したもの

チンパンジーはこういう心理で子供の四肢を引き裂いたりする

怒りは一度発散すると解消すると思われているが、実際は最初からもっとやっておけばよかったと考えてエスカレートしていく

プラナリアなら大丈夫

>>185
>B^X={f∈P(X×(B＼*))|(x,y),(x,z)∈f→y=z}
B=2={0,1}
の場合
B＼*={1}
なので
この定義の2^Xに含まれるのは
supp(f)=dom(f)={x∈X|f(x)=1}
であるfであり
f⇔A=supp(f)⊂X
の対応が自然な全単射
2^X⇔P(X)
を定める

２３℃
小雨

こっちだった

数学国の辺境の住人、ここだよ

ワクワクw

階数2の自由群F_2のなすケーリーグラフ上をランダムウォークする
参加者が多数いるとする。回答者には、参加者が原点から出発して
ランダムウォークを終えた地点までの経路が簡約語の形で渡される。
F_2の生成元をa,bとするとき、ケーリーグラフ上では
各点から、a,b,a^{-1},b^{-1}の4方向に進むことができ
たとえば、aa^{-1} つまり行って戻るような道のりは
簡約語では消えてしまい、表示されない。
参加者はウォークを終えた地点の直前の位置に宝を埋めている。
回答者はその位置を推定する。
たとえば、回答者が渡されたある参加者の経路を示す簡約語が
「...ab」の場合、
直前が「...a」で最後にb方向に進んだ
直前が「...ab^2」で最後にb^{-1}方向に進んだ
直前が「...aba^{-1}」で最後にa方向に進んだ
直前が「...aba」で最後にa^{-1}方向に進んだ
の4通りがある。

局所的に見れば、この4通りの可能性は平等であるように見える。
そこで回答者1（ベイジアン）は、上記経路「...ab」における
条件付き確率において、上記4ケースの確率をどれも25%と
算出する。そこで、4つの中からランダムに選んだ1つの直前
の位置に宝があると予測する。

回答者2（頻度主義者）は全体像を俯瞰する。
参加者たちがランダムウォークを終える一歩手前の点の集合
をSとする。Sから出ている道は、75%が原点から遠ざかること
に注目する。したがって宝の位置は、原点に近い方、上記例
で言えば「...a」の位置であると予測する。

ゲームを繰り返すと、回答者1の勝率は25%であり、
回答者2の勝率は75%となる。■

The Marginalization Paradox and the Formal Bayes’ Law
arxiv.org/pdf/0708.1350

数理論理学を数学基礎論と呼ぶ耄碌爺は絶滅してほしい（笑）

数学の無矛盾性証明なんか要らんわ

🐎🦌野郎参上ｗ

素人の馬鹿は基礎論村から出てくなるｗ

参加者が何歩で乱歩をやめるかのルールが曖昧なので無意味

>数学の無矛盾性証明なんか要らんわ
矛盾している理論は、それからあらゆる命題を証明できるから数学的に無意味。
一階述語論理では、ある理論が無矛盾であることとそのモデルが存在することは同値（完全性定理）。超フィルタ補題を使って証明できる。

>基礎論村から出てくなる
ここ基礎論スレだけど？　頭大丈夫？

>>200
ここから出てくるなといってるんだが頭大丈夫か？

箱入りも理解できないアホが何か言ってる

（レス乞食はもうちょっと数学を勉強しないと）

>>200
＞矛盾している理論は、それからあらゆる命題を証明できるから
矛盾している理論は無矛盾性も証明できますね
無矛盾性を証明することの意義とは？

矛盾している理論は数学的に無価値。
そうでないことを確かめることに意義は無いと？　頭大丈夫？

ちなみに、ある程度複雑な理論についてそれが無矛盾ならそのことをその理論内では証明できない（不完全性定理）。
よって無矛盾性証明（モデル存在証明）にはメタ理論が必要。

そうなると今度はメタ理論の無矛盾性が問題となる。このことは無限後退に陥るから結局完全な無矛盾性証明は不可能。
数学には絶対的真理は存在しない。どんな仮定からどんな結論を帰結できるかという相対的真理しか無い。

そういう意味での
>数学の無矛盾性証明なんか要らんわ
なら同意できる

無限後退どころか理論がどんどん強くなって矛盾に近づいてゆくだけでは

集合論にそうしたテーマが存在すること自体は理解できますが
しょせん数学の世界に数多あるニッチな分野のニッチなテーマの１つに
過ぎないのではないでしょうか

>>210
ニッチかどうかは軽々に判断できまい
大数学者が真面目に取り組んでいた頃は大変重要問題だったし
数学的な定義や概念が矛盾を引き起こさないかどうか
気にする人は気にする
特に圏論関係にちょっとでも拘わる場合かな
だからトポロジーや代数学関数論の最先端あたり

>>209
極大無矛盾理論のいかなるメタ理論も矛盾していることは事実だが、メタ理論を考えることは矛盾に近づくから数学的に無価値と言いたいのだとしたらそんなことは無い。
例えば圏論ではZFCのメタ理論を考えることで集合の圏を論じることができるようになる。

>>207
僕もこれ思いました。メタの次元で集合論を使ってる時点でオブジェクト側の無矛盾性は形式的なものでしかない。

（彼の人はまだ害毒垂れ流してますね）

αを順序数とし
α番目の基数をℵα
その基数を順序数と見たときの順序数をωαと書く
α=ωα
つまり
ω:Ord→Card⊂Ord
の不動点は存在するのかな？

あ
間違えた
巨大数スレの方が適当だな
あっちへ移るわ

>>207
数学以外でも相対的真理しかないよ

アッラーの教えはムスリムにとって絶対的真理
ZFCの無矛盾性は数学者にとって絶対的真理
つまり数学は宗教

条件付きで豚肉を食べてもいいし
戦争や災害の最中では礼拝もしなくていい
条件付き真理

ベイジアンポーク

数学基礎論における「レヴィンの予想（レヴィンの独立公理／独立要請：Independence Postulate, IP）」は、著名な計算機科学者・数学者であるLeonid Levinによって提唱された、アルゴリズム情報理論（コルモゴロフ複雑性）を数学の基礎や確率論に応用するための重要な枠組みです。

レヴィンの独立公理（Independence Postulate: IP）の概要
定義: 数学的な性質や数式によって定義される対象（内部クラス）と、物理世界や外部から与えられる情報（外部パラメータ・系列）の間には、無限の相互情報量が存在しないという要請。
直感的意味: ある数式で定式化された数学的対象について、外部の物理的プロセスや観測が無限の情報をあらかじめ持っていることはない、とする考え方です。
意義: ゲーデルの不完全性定理の隙間を埋め、数学的理論におけるランダム性や確率の定義を単純化・厳密化する役割を持ちます。また、集合論の量化子を整数に関するものへ還元するアプローチにも使われます。

>>221-222
計算機ハードウェアアーキテクチャから遊離した情報やらアルゴリズムやらとは一体全体何なのだろう？。

チューリングマシンじゃないの？
あるいはその同等物

ラムダ式とか形式言語とかね

順序数の共終数cfは
cf(α)=min{β∈Ord::∃f:β→α:cofinal}
という定義
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
が成立するという意味
αが後続順序数の時は
f(0)をその前者の順序数にすれば
f:1→α:cofinal
となるから
cf(α)=1
cf(α)=α
であるαは
β<α=cf(α)
で
|β|=|α|
となるものが存在するとすると
（|β|≦|α|は自明）
f:β→α:iso
があるので
∀γ<α,∃δ<β:γ=f(δ)
すなわち
f:β→α:cofinal
なので
cf(α)≦β<α
となって矛盾なので
β<α→|β|<|α|
則ち
α=|α|（=min{β∈Ord::∃f:β→α:iso}）
つまり基数
基数は順序付けられて
ℵ0,ℵ1,…,ℵα,…（α∈Ord）
と書かれるけど
それぞれの順序型を
ω0,ω1,…,ωα,…（α∈Ord）
と書くと
αが後続順序数の場合
cf(ωα)=ωα
が成立する

>>226
>αが後続順序数の場合
>cf(ωα)=ωα
>が成立する
ω(α+1)=min{β∈Ord:ℵα<|β|}
β<ω(α+1)→|β|≦ℵα
もし
β+1=ω(α+1)
なら
ℵα=|β|=|β+1|=|ω(α+1)|=ℵ(α+1)
で矛盾なので
ω(α+1):limit
よって
ω(α+1)=∪ω(α+1)
もし
cf(ω(α+1))<ω(α+1)
だとすると
ある
β<ω(α+1)
と
f:β→ω(α+1):cofinal
すなわち
∀γ<ω(α+1),∃δ<β:γ≦f(δ)
が存在する
つまり
ω(α+1)=∪ω(α+1)=∪{γ:γ<ω(α+1)}=∪{f(δ):δ<β}
より
ℵ(α+1)=|ω(α+1)|≦|β|ℵα≦ℵα^2=ℵα
で矛盾
よって
cf(ω(α+1))=ω(α+1)

cf(α)=α
である順序数はωαに限る
たしかに
cf(ω0)=ω0
cf(ω1)=ω1
だが
cf(ωω0)=ω0<ωω0
つまり
どんな順序数αでも
cf(ωα)=ωα
となるわけではない
αが後続順序数の場合は
cf(ωα)=ωα
だが
極限順序数αで
cf(ωα)=ωα
となるものはあるのかないのか

>>228
>cf(α)=α
>である順序数はωαに限る
クラス関数
cf:Ord→Ord
の不動点となる順序数はωαに限る
と言うべきだった

>>229
>cf:Ord→Ord
>の不動点となる順序数はωαに限る
がωαの全てではなく
αが後続順序数なら不動点
極限順序数で不動点にならないものも多数ある
（というか不動点になるものを探せてない）

>>228
>極限順序数αで
>cf(ωα)=ωα
>となるものはあるのかないのか
0を極限順序数とする場合（確かに後続順序数じゃないし）
cf(ω0)=ω0
だから
この０が上記の例と言うことも出来ようが
それ以外であるのかないのか

順序数αに対して
ベキ集合P(α)の基数（濃度）をp(α)とでも書くことにするかな
GCHはp(ωα)=ω(α+1)という公理
ということはp(α)は一般によく分からないクラス関数だな
でも
β<α
なら
P(β)⊂≠P(α)
だから
p(β)≦p(α)（広義単調性）
は言えるか
しかし
P(∪A)≠⊃∪P(A)
（P(A)={P(a)::a∈A}・ちょっと記号が悪いかも）
だから
p(β)からp(α)を復元できそうではないな

かまって爺さんの名言ｗ
>飛躍が生じやすいところをケアするのが、私の一番大事にしていること

しょうもないコピペすんのなら、無数目以外のトピックでもかいたらどう？

数学板で問題を貰って解くのが数学（苦笑）

俺はトピックを撒いているつもりだが。
難癖爺さんは困るなぁw

自分の都合の良い方に主張を変えていく達人w

自分が興味を持つ問題がいい問題ｗ

クソ撒き散らしてるｗ
>俺はトピックを撒いているつもりだが。

基礎論独り言爺さん乙。

p(α)=min{β∈Ord::∃f:β→P(α):iso}
常に
α<p(α)
となるから
pには不動点はない
cfやωに不動点があるのと決定的に違う

極限順序数は
α=∪α
が成立する順序数だから
∪
というクラス関数の不動点か
（この意味だと0も極限順序数）
後続順序数の場合は
∪(α+1)=α
つまり前者を復元する写像ね

そういうえば
極限順序数の全体Limは整列してるよね
0,ω0,ω0+ω0,…
これって順序数αで表すと
ω0α（積）なの？
そうすると
ω0ω1=ω1
ω0ω2=ω2
だから
この表記の不動点は
0,ω1,ω2,…
なのかな？
あいや違うか
ω0(ω1+ω1)=ω1+ω1
だから
0,ω1,ω1+ω1,…
かな？
これら全部は
ω1α
と表記される？
そしてこの表記の不動点が
ω2α？…・キリないのかもね

順序数の話はいつも悩むんだよな
このスレが良いのか巨大数スレが良いか
巨大数はあくまで自然数の中での定義の話だが
それを順序数の定義に流用することは可能（ただしωCK1までかも？）
でも逆の流用（順序数の話を自然数の中での定義の話にすること）は大方無理そう

再帰理論とか記述集合論の話もこのスレでいいのん？

ココか巨大数スレかどっちかかなあ
ある種の再帰は
最近ランダムウォークスレというのがあるみたいよ

宇宙公理Uはどんな基数についてもそれより大きな強到達不能基数が存在するという公理で
グロタン宇宙の存在を導くことが出来る
強到達不能基数の定義は
自分より小さな濃度の集合の冪集合の濃度が必ず自分より小さい
すなわち
順序数で書くと
U::∀α<∃β,∀γ<β:p(γ)<β
かな？

cf(β)=βである必要もあるとのことで
U::∀α<∃κ>∀β,∀f:β→α,∃γ<κ,∀δ<β:p(β)<κ∧f(δ)<γ

β<κ→p(β)<κ
が成立してたら
cf(κ)=κ
にならんのかな
前者だけでκかなり大きいと言えるはずだけど

cf(ω0)=ω0
β<ω0→p(β)<ω0
だから
ω0は強到達不能基数
cf(0)=0
β<0→p(β)<0
でもあるから
0も強到達不能基数
普通はこの2つは除くみたいね

強極限かつ非正則な基数という反例がある

非可算という条件があるからね　無い流儀もあるらしいけど

ω0=ω
ω1=2^ω
・・・
ωk=2^ωk-1
・・・
でωkを定義したとき、sup{ωk|k∈ω} は強極限かつ非正則な基数。

つまり
なんにせよ可算の繰り返しの極限ならcfはω0以下
α→p(α)
でもってことね

∀n∈ω:(sup{ωk|k∈n} < sup{ωk|k∈ω}) だからcf=ω<sup{ωk|k∈ω}だから非正則。

∀λ:(λ< sup{ωk|k∈ω} ⇒ ∃n∈ω:(λ<ωn))
よって
∀λ:(λ< sup{ωk|k∈ω} ⇒ ∃n∈ω:(2^λ<ωn<sup{ωk|k∈ω}))
よって強極限。

「αは正則基数である」
は同値な言い換えができて、簡単に言うと「非自明な和集合の濃度<α」
非自明とは、和を取る対象がα濃度以上だったり和を取る対象の個数がα濃度以上だったりすれば自明に≧だからその排除。

ある集合Xを起点に濃度を上げる操作はべきを取る操作と和をとる操作。
強極限の条件はべきで、正則の条件は和でその濃度に達しないことに相当する。

任意の自然数nに対して2^n<ωだからωは強極限
任意有限個の任意自然数の和<ωだからωは正則
つまりωは非可算という条件を外した強到達不能基数で、それが無限公理が必要な理由。

>>256
大変よくわかるまとめでした
ありがとう

>>257
つまり
和とベキで到達できず
さらに無限集合がある
のが「宇宙」の条件よなってことね

宇宙は全体って意味だよ
いろいろな宇宙があるけどそれぞれ考えてる範囲での全体
集合論の宇宙は到達とかなんとかぜんぜん意識しないよ、だってその到達ってある理論での到達性であって、集合論の宇宙は特定の理論に縛られない全体だから

例えばノイマン宇宙は整礎集合の全体
非整礎集合を考える理論もあるから集合論の宇宙はもっと広い

グロタン宇宙が宇宙と呼ばれる資格があると看做されるのは>>259みたいなことかなと思うわけです

あー
書いたのは数学的な定義のことでなくて
標語のようなもののつもりです

グロタン宇宙Uでも
U×U⊂U
となるのな
集合なのに
VにはできてUにできないのはどんな操作かな
大きな基数に関するものというのだといくらでもあろうけど
ZFCのモデルだからそういうの以外にはないかな？