数学基礎論・数理論理学　その20

ゲスですw

レヴィンの独立公理（Independence Postulate: IP）の概要
定義: 数学的な性質や数式によって定義される対象（内部クラス）と、物理世界や外部から与えられる情報（外部パラメータ・系列）の間には、無限の相互情報量が存在しないという要請。
直感的意味: ある数式で定式化された数学的対象について、外部の物理的プロセスや観測が無限の情報をあらかじめ持っていることはない、とする考え方です。
意義: ゲーデルの不完全性定理の隙間を埋め、数学的理論におけるランダム性や確率の定義を単純化・厳密化する役割を持ちます。また、集合論の量化子を整数に関するものへ還元するアプローチにも使われます。

>>221-222
計算機ハードウェアアーキテクチャから遊離した情報やらアルゴリズムやらとは一体全体何なのだろう？。

チューリングマシンじゃないの？
あるいはその同等物

ラムダ式とか形式言語とかね

順序数の共終数cfは
cf(α)=min{β∈Ord::∃f:β→α:cofinal}
という定義
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
が成立するという意味
αが後続順序数の時は
f(0)をその前者の順序数にすれば
f:1→α:cofinal
となるから
cf(α)=1
cf(α)=α
であるαは
β<α=cf(α)
で
|β|=|α|
となるものが存在するとすると
（|β|≦|α|は自明）
f:β→α:iso
があるので
∀γ<α,∃δ<β:γ=f(δ)
すなわち
f:β→α:cofinal
なので
cf(α)≦β<α
となって矛盾なので
β<α→|β|<|α|
則ち
α=|α|（=min{β∈Ord::∃f:β→α:iso}）
つまり基数
基数は順序付けられて
ℵ0,ℵ1,…,ℵα,…（α∈Ord）
と書かれるけど
それぞれの順序型を
ω0,ω1,…,ωα,…（α∈Ord）
と書くと
αが後続順序数の場合
cf(ωα)=ωα
が成立する

>>226
>αが後続順序数の場合
>cf(ωα)=ωα
>が成立する
ω(α+1)=min{β∈Ord:ℵα<|β|}
β<ω(α+1)→|β|≦ℵα
もし
β+1=ω(α+1)
なら
ℵα=|β|=|β+1|=|ω(α+1)|=ℵ(α+1)
で矛盾なので
ω(α+1):limit
よって
ω(α+1)=∪ω(α+1)
もし
cf(ω(α+1))<ω(α+1)
だとすると
ある
β<ω(α+1)
と
f:β→ω(α+1):cofinal
すなわち
∀γ<ω(α+1),∃δ<β:γ≦f(δ)
が存在する
つまり
ω(α+1)=∪ω(α+1)=∪{γ:γ<ω(α+1)}=∪{f(δ):δ<β}
より
ℵ(α+1)=|ω(α+1)|≦|β|ℵα≦ℵα^2=ℵα
で矛盾
よって
cf(ω(α+1))=ω(α+1)

cf(α)=α
である順序数はωαに限る
たしかに
cf(ω0)=ω0
cf(ω1)=ω1
だが
cf(ωω0)=ω0<ωω0
つまり
どんな順序数αでも
cf(ωα)=ωα
となるわけではない
αが後続順序数の場合は
cf(ωα)=ωα
だが
極限順序数αで
cf(ωα)=ωα
となるものはあるのかないのか

>>228
>cf(α)=α
>である順序数はωαに限る
クラス関数
cf:Ord→Ord
の不動点となる順序数はωαに限る
と言うべきだった

>>229
>cf:Ord→Ord
>の不動点となる順序数はωαに限る
がωαの全てではなく
αが後続順序数なら不動点
極限順序数で不動点にならないものも多数ある
（というか不動点になるものを探せてない）

>>228
>極限順序数αで
>cf(ωα)=ωα
>となるものはあるのかないのか
0を極限順序数とする場合（確かに後続順序数じゃないし）
cf(ω0)=ω0
だから
この０が上記の例と言うことも出来ようが
それ以外であるのかないのか

順序数αに対して
ベキ集合P(α)の基数（濃度）をp(α)とでも書くことにするかな
GCHはp(ωα)=ω(α+1)という公理
ということはp(α)は一般によく分からないクラス関数だな
でも
β<α
なら
P(β)⊂≠P(α)
だから
p(β)≦p(α)（広義単調性）
は言えるか
しかし
P(∪A)≠⊃∪P(A)
（P(A)={P(a)::a∈A}・ちょっと記号が悪いかも）
だから
p(β)からp(α)を復元できそうではないな

かまって爺さんの名言ｗ
>飛躍が生じやすいところをケアするのが、私の一番大事にしていること

しょうもないコピペすんのなら、無数目以外のトピックでもかいたらどう？

数学板で問題を貰って解くのが数学（苦笑）

俺はトピックを撒いているつもりだが。
難癖爺さんは困るなぁw

自分の都合の良い方に主張を変えていく達人w

自分が興味を持つ問題がいい問題ｗ

クソ撒き散らしてるｗ
>俺はトピックを撒いているつもりだが。

基礎論独り言爺さん乙。

p(α)=min{β∈Ord::∃f:β→P(α):iso}
常に
α<p(α)
となるから
pには不動点はない
cfやωに不動点があるのと決定的に違う

極限順序数は
α=∪α
が成立する順序数だから
∪
というクラス関数の不動点か
（この意味だと0も極限順序数）
後続順序数の場合は
∪(α+1)=α
つまり前者を復元する写像ね

そういうえば
極限順序数の全体Limは整列してるよね
0,ω0,ω0+ω0,…
これって順序数αで表すと
ω0α（積）なの？
そうすると
ω0ω1=ω1
ω0ω2=ω2
だから
この表記の不動点は
0,ω1,ω2,…
なのかな？
あいや違うか
ω0(ω1+ω1)=ω1+ω1
だから
0,ω1,ω1+ω1,…
かな？
これら全部は
ω1α
と表記される？
そしてこの表記の不動点が
ω2α？…・キリないのかもね

順序数の話はいつも悩むんだよな
このスレが良いのか巨大数スレが良いか
巨大数はあくまで自然数の中での定義の話だが
それを順序数の定義に流用することは可能（ただしωCK1までかも？）
でも逆の流用（順序数の話を自然数の中での定義の話にすること）は大方無理そう

再帰理論とか記述集合論の話もこのスレでいいのん？

ココか巨大数スレかどっちかかなあ
ある種の再帰は
最近ランダムウォークスレというのがあるみたいよ

宇宙公理Uはどんな基数についてもそれより大きな強到達不能基数が存在するという公理で
グロタン宇宙の存在を導くことが出来る
強到達不能基数の定義は
自分より小さな濃度の集合の冪集合の濃度が必ず自分より小さい
すなわち
順序数で書くと
U::∀α<∃β,∀γ<β:p(γ)<β
かな？

cf(β)=βである必要もあるとのことで
U::∀α<∃κ>∀β,∀f:β→α,∃γ<κ,∀δ<β:p(β)<κ∧f(δ)<γ

β<κ→p(β)<κ
が成立してたら
cf(κ)=κ
にならんのかな
前者だけでκかなり大きいと言えるはずだけど

cf(ω0)=ω0
β<ω0→p(β)<ω0
だから
ω0は強到達不能基数
cf(0)=0
β<0→p(β)<0
でもあるから
0も強到達不能基数
普通はこの2つは除くみたいね

強極限かつ非正則な基数という反例がある

非可算という条件があるからね　無い流儀もあるらしいけど

ω0=ω
ω1=2^ω
・・・
ωk=2^ωk-1
・・・
でωkを定義したとき、sup{ωk|k∈ω} は強極限かつ非正則な基数。

つまり
なんにせよ可算の繰り返しの極限ならcfはω0以下
α→p(α)
でもってことね

∀n∈ω:(sup{ωk|k∈n} < sup{ωk|k∈ω}) だからcf=ω<sup{ωk|k∈ω}だから非正則。

∀λ:(λ< sup{ωk|k∈ω} ⇒ ∃n∈ω:(λ<ωn))
よって
∀λ:(λ< sup{ωk|k∈ω} ⇒ ∃n∈ω:(2^λ<ωn<sup{ωk|k∈ω}))
よって強極限。

「αは正則基数である」
は同値な言い換えができて、簡単に言うと「非自明な和集合の濃度<α」
非自明とは、和を取る対象がα濃度以上だったり和を取る対象の個数がα濃度以上だったりすれば自明に≧だからその排除。

ある集合Xを起点に濃度を上げる操作はべきを取る操作と和をとる操作。
強極限の条件はべきで、正則の条件は和でその濃度に達しないことに相当する。

任意の自然数nに対して2^n<ωだからωは強極限
任意有限個の任意自然数の和<ωだからωは正則
つまりωは非可算という条件を外した強到達不能基数で、それが無限公理が必要な理由。

>>256
大変よくわかるまとめでした
ありがとう

>>257
つまり
和とベキで到達できず
さらに無限集合がある
のが「宇宙」の条件よなってことね

宇宙は全体って意味だよ
いろいろな宇宙があるけどそれぞれ考えてる範囲での全体
集合論の宇宙は到達とかなんとかぜんぜん意識しないよ、だってその到達ってある理論での到達性であって、集合論の宇宙は特定の理論に縛られない全体だから

例えばノイマン宇宙は整礎集合の全体
非整礎集合を考える理論もあるから集合論の宇宙はもっと広い

グロタン宇宙が宇宙と呼ばれる資格があると看做されるのは>>259みたいなことかなと思うわけです

あー
書いたのは数学的な定義のことでなくて
標語のようなもののつもりです

グロタン宇宙Uでも
U×U⊂U
となるのな
集合なのに
VにはできてUにできないのはどんな操作かな
大きな基数に関するものというのだといくらでもあろうけど
ZFCのモデルだからそういうの以外にはないかな？

到達不能基数は順序数であり
順序数は範疇性と絶対性を持つ
標語的に言えば
範疇性とは同じ性質のものは1つといいうことで
順序数については
順序同型な順序数は1つしか無いということ
同じく標語的に言えば
絶対性とはどのモデルでも意味が変わらないということ
順序数については
ZFCのどの標準モデルでもそのモデルでの順序数の全体が
VにおけるOrdと同じもしくはその切片になるということ
Lにおける順序数の全体はOrdで
到達不能基数κについては
VκもLκも順序数の全体はκ

ただし
Lは全ての強到達不能基数を含むが
それ以外に
Lの中だけで強到達不能基数となるものが存在する
それは
λ<κ≦p(λ)（=|P(λ)|）
であるようなλが存在する正則基数κは
強到達不能基数ではないけれど
Lの中ではGCHが成立するため
p(λ)≦κ
となり
κが極限基数だから
p(λ)<κ
となって
このκはLでは強到達不能基数になるということか

あ
この話の前提は
Lの中では部分集合がかなり減るってことね
p(λ)=|P(λ)|
の
P(λ)={μ::μ⊂λ}
がVでのものよりかなり減るはず
だからこそGCHが成立するんだろう（詳しくは知らない）

>>267
>Lの中では部分集合がかなり減るってことね
V=L
を仮定すれば減らない
同じものになる
つまり
V=L
を公理とするのがベストだと思うんだよな
非ユークリッド幾何それは面白いだろうが
正統はユークリッド幾何
みたいな

ZF+V=LからACもGCHも出るらしい
到達不能基数の存在公理Uは独立らしい
¬U
が良いと思うけどな
つまり
俺の思う正統な数学は
ZFC+V=L+¬U
のモデル上で展開されるべきかなと

順序数の構成のイメージ
0={ }
1={0}
2={0,1}
…
ω0={0,1,2,…}
ω0+1=ω0∪{ω0}
αまで構成できたとき
α+1=α∪{α}
つまり
そこまで作った順序数全部で出来る集合が次の順序数

ただこれではキリがないので実際にはこうではなく
順序数であることを
∈を順序関係とする推移的整列順序集合として一括して定義する
すると2つの順序数α,βには
α∈βかα=βかα∋βかいずれか1つだけが必ず成立することを証明できる

また最小限が0={ }であることも証明できる

ノイマン宇宙Vは
V0=0={ }
から初めて
V1=P(V0)={0}=1
V2=P(V1)={{ },{0}}={0,1}=2
V3=P(V2)={{ },{0},{1},{0,1}}={0,1,2,{1}}
V4=P(V3}
…
Vω0=∪{Vn::n∈ω0}
V(ω0+1)=P(Vω0)
…
すでに順序数を構成しているので
後続順序数の場合は
V(α+1)=P(Vα)
極限順序数の場合は
Vα=∪{Vβ::β<α}
これらを区別しない
Vα=∪{P(Vβ)::β<α}
という定義もある
そして
V=∪Vα

構成可能宇宙Lは
L0={ }=0
から初めて
L1=Def(L0)={0}=1=V1
L2=Def(L1)={0,1}=2=V2
L3=Def(L3)=V3
…
Lω0=∪{Ln::n∈ω0}=Vω0
L(ω0+1)=Def(Lω0)≠V(ω0+1)
…
後続順序数については
L(α+1)=Def(Lα)
極限順序数については
Lα=∪{Lβ::β<α}
これらを区別しない
Lα=∪{Def(Dβ)::β<α}
という定義もある
ここで
Def(X)={A⊂X::A={x∈X::Q(x)}}⊂P(X)
ただしQ(x)は自由変数xおよび定数としてXの元を有限個使う1階述語論理式
そして
L=∪Lα

Vω0の濃度はω0
V(ω0+1)=P(Vω0)
の濃度はp(ω0)いわゆる連続濃度
しかし
L(ω0+1)=Def(Lω0)=Def(Vω0)
の濃度はω0
それはQ(x)として考えることの出来る論理式は可算だから
定義可能な部分集合も可算
以下ずっと可算で
Lω1で初めて濃度はℵ1となる
そして
V(ω0+1)=P(Vω0)⊂Lω1
だそうな（詳しくは知らない）
V=L
とは
どのVαもどこかのLβに含まれるというものであって
Vα=Lα
のようなことを主張しているわけではない
L=∪Lα⊂V=∪Vα⊂L=∪Lβ
という意味

>>275
>V(ω0+1)=P(Vω0)⊂Lω1
ここから
連続濃度はℵ1以下だという連続体仮説が出るらしい
ということは
上記のことはV=Lの仮定の下で言えることなのだな
その仮定なしに言えることなら
ZFCでCHが成り立つ証明があることになる

>>268
>>Lの中では部分集合がかなり減るってことね
>V=L
>を仮定すれば減らない
>同じものになる
この認識は間違ってたな
部分集合の全体はかなり減るが
いずれはどこかのLαの元になるということか

>>271,272
他にも
切片が必ず順序数になることとか
絶対性（内部モデルの中での順序数は本当に順序数）とか
様々な性質が証明できる

>Lの中では部分集合がかなり減るってことね
うん、生成済み階層が可算の段階ではパラメータの濃度も可算、論理式の濃度も可算だから可算個の集合しか定義できない。
そのためVではω+1階層は2^ωつまり非可算だけどLでは可算。
Lではω1（最小の非可算順序数）階層になってようやく非可算。なぜなら可算集合の可算和は可算集合、可算集合の非可算和は非可算集合だから。
生成済みの集合をパラメータとして使える、つまり論理式の言語の濃度が階段状に増えていくところがミソ。

LはVの内部モデルだから使える順序数は同じ、つまり縦方向の高さは同じ。一方横方向の幅は上記の事情により圧倒的にスリム。

そしてすべての集合が生成された階層・論理式・パラメータで一意に識別できるので整列順序を構成できる、つまり選択公理を充足する。

Vは一意な定義を与えられているにもかかわらず V=L でも V≠L でもよいという事情がどこから生じるか考えると、P(x)はxのべき集合 ⇔ ∀y:(y⊂x⇒y∈P(x)) であるから、そもそも議論領域に構成不可能な集合が無いならそのような部分集合を元として持たないP(x)もべき集合の定義を満たしている。ということから。

>ω1（最小の非可算順序数）
ちなみにω1とはたかだか可算な順序数全体からなる順序数。
ω1が可算順序数であると仮定すると、その後者ω1+1も可算順序数でなければならないから定義よりω1+1∈ω1であるはずだが、これはω1が順序数であることと矛盾。
ω1が最小の非可算順序数でないと仮定すると、ある非可算順序数αが存在してα∈ω1であるはずだが、これはω1がたかだか可算な順序数全体からなることと矛盾。

なぜV=LからGCHが出るのかの本質が>>275
>P(Vω0)⊂Lω1
この理解にあるらしい
これを理解すると直接
2^ℵ0=ℵ1
が導けることが分かるが
さらに
以下同様に
V=L::∀α,∃β:Vα⊂Lβ
から
P(Vωα)⊂Lω(α+1)
が言えることがわかるらしくて（どうするんだろ？）
これが
GCH::2^ℵα=ℵα+1

V=Lを仮定すると
P(Vω0)⊂Lα
となるαが存在する
|Lα|≧|P(Vω0)|=2^ℵ0≧ℵ1=ω1
より
α≧ω1
だから
α>ω1
なら矛盾が出ることを示せば良いのか

P(Vω0)⊂Lω1
これは
x∈P(Vω0)→x∈Lω1
すなわち
x⊂Vω0→x∈Lω1
つまり
x⊂Vω0→∃α<ω1:x∈Lα
を示せば良い
V=L
から
∃β:x⊂Vω0⊂Lβ
xは遺伝的有限集合のみを元として持つ集合

∪:Ord→Ord:∪(α)=∪α={x::x∈∃β<α}
とすると
∪(α+1)=α
α∈Lim（極限順序数）
なら
∪(α)=α
すなわち不動点となる
p:Ord→Ord:p(α)=|P(α)|=min{β::∃f:β→P(α):iso}
とすると
p(α)>α
なので不動点は無い
v:Ord→Ord:v(α)=|Vα|
とすると
v(α+1)=|Vα+1|=|P(Vα)|=|P(v(α))|=p(v(α))>v(α)
α∈Lim
なら
v(α)=|∪{Vβ::β<α}|≧|Vβ|=v(β) for all β<α
より
v(α)＝sup{v(β)::β<α}
かな

>>284
>v(α)＝sup{v(β)::β<α}
Card={α∈Ord::∀β<α:|β|<|α|}={α::∀β<α,∀f:β→α,∃γ<α,∀δ<β:γ≠f(δ)}
と定義され
ω:Ord→Card
を超限帰納法で
ω(0)=ω0=ℵ0
ω(α+1)=min{β∈Card::ω(α)<β}
α∈Lim
のときは
ω(α)=∪{ω(β)::β<α}∈Card
と定義する
ここで
ω=∪{ω(β)::β<α}∈Card
であることは
∀γ<ω,∃β<α:γ<ω(β)∈Card
なので
|γ|<ω(β)=|ω(β)|≦|∪{ω(β)::β<α}|=|ω|
となるため

NBGの対称はクラスで関係は∈
集合は
Set(x)≡∃C:x∈C
という述語で表される
大文字はクラス小文字は集合を表す変数
集合を表す変数とは
∀x:φ(x)≡∀x:(Set(x)→φ(x))
∃x:φ(x)≡∃x(:Set(x)∧φ(x))
と解釈する
NBGの公理は以下の通り：
�@（クラス外延性）
∀A.∀B:((∀x:(x∈A⇔x∈B))→A=B)
�A（対の公理）
∀x.∀y.∃z.∀a:(a∈z⇔a=x∨a=y)
�B（クラス存在公理）
�T（ε関係クラス）
∃E.∀x,y:((x,y)∈E⇔x∈y)
�U（連言クラス）
∀A,B,∃C,∀x:(x∈C⇔x∈A∧x∈B)
�V（否定クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔¬x∈A)
�W（ドメインクラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y:(x,y)∈A)
�X（直積クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y,z:(x=(y,z)∧y∈A))
�Y（巡回置換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(y,z,x)∈A)
�Z（互換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(x,z,y)∈A)
�C（正則性公理）
∀x:(x≠{ }→∃y:(y∈x∧x∩y={ }))
�D（集合存在公理）
�T（クラス置換公理）
∀F:((∀x,y,z:((x,y),(x,z)∈F→y=z))→(∀w:Set(F[w])))
�U（和集合）
∀x.∃y.∀z:((∃w:(z∈w∧w∈x))→z∈y)
�V（冪集合）
∀x.∃y.∀z:((∀w:(w∈z→w∈x))→z∈y)
�W（無限公理）
∃x.∀y.∃z:(x≠{ }∧(y∈x→z∈x∧y≠z∧∀w:(w∈y→w∈z)))
�E（大域選択公理）
∃A.∀x:((∀y,z:((x,y),(x,z)∈A→y=z))∧(x≠{ }→∃y:(x∋y∧(x,y)∈A)))

NBGでは通常の選択公理より強い大域選択公理を仮定するのが普通らしい
また互換クラスは3対で定義されているが2対の順序対について成立することを証明できるようだ
そしてとても重要なのが
�@クラス存在定理
これは
いくつかのクラスA1,…,Anと
自由集合変数x1,…xmについての1階述語論理式φ(x1,…,xm,A1,…,An)
に対して
{(x1,…,xm)∈V^m::φ(x1,…,xm,A1,…,An)}
というクラスが存在するという定理
および
�AZFCの保存拡大
これは
集合しか対象になっていないZFCで証明できる命題と
NBGで集合について証明できる命題は一致するというもの

これが成立しているため
クラスが無いZFCでも
自由にクラスを扱って良いことになる訳だな

なんでZFCに関する結論が得られるのかわからん

自由に扱えるなら全てのクラスからなるクラスもオッケーだな
すてき

（レス乞食はもうちょっと数学を勉強しないと）

<<数学は競争だ>>

パンだけ食ってゴールしないw

ポエム書かれても意味分からんのだが？
自由に扱えるってなんやねん

給水してパン食って帰るw

借り物をして返さずに帰るw

うちの子はなぜ一番じゃないの？

一人で走れば良いよw

>>286
NBGのクラス置換公理は単独の公理であり
ZFCの様な置換公理スキームにならないのは>>287
>�@クラス存在定理
のおかげで
論理式それぞれについて別々の公理にする必要が無いから
これによりNBGは有限公理化できているわけだ
クラスFとAに対してクラス存在定理より
F[A]={y::∃x∈A:(x,y)∈F}
というFによるAの像クラスが存在するが
クラス置換公理の言わんとするところは
Fをクラス関数
すなわち
∀x,y,z:((x,y),(x,z)∈F→y=z)
の成り立つクラスだとしたとき
xが集合ならF[x]も集合ということ
標語的に言えば「（クラス関数による）集合の像は集合」かな

ドメインクラスの存在公理は
別の書き方をすると
Dom(F)={x::∃y:(x,y)∈F}
が存在すると言っており
互換クラスの存在公理（から証明される転置クラスA^T）により
Dom(F)=F^T[V]
であるので不用と思うかも知れないが
クラス存在定理を証明するのにドメインクラスが必要だし
クラス存在定理は任意の論理式φ(x1,…,xm,A1,…,An)について成立するので
こちらを公理にしようとすると公理スキームになってしまう

NBGでVは
クラスとその補クラスの合併
すなわち
補クラスとクラスの連言クラスの補クラスとして定義するらしいが
これが
φ(x)≡x=x
の定義するクラスと一致するのは
クラス外延性からだな

>>301
>φ(x)≡x=x
>の定義するクラス
つまり
ZFCでもNBGでも
それに公理を追加しも
Vの定義は同じ
ていうか
追加する前のVより
追加した後のVの方が狭い
そりゃ当然よな
公理の追加＝理論の制限
なんだから

みんな大好きお兄さんのまったり集合論（数理論理学）・確率論勉強スレ
rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791094141/

ヨロピク

ヨロピクリン。
☆（ゝω・）vｷｬﾋﾟ

>>286
>�U（連言クラス）
A∩B
>�V（否定クラス）
cA
>�W（ドメインクラス）
Dom(A)
>�X（直積クラス）
A×V
>�Y（巡回置換クラス）
A^σ
>�Z（互換クラス）
A^T

しかし
これらって
クラスを引数にする函数みたいなのを考えてるってことよな
それってありなん？
公理にしてるんだからアリなのか？