順序数の共終数cfは
cf(α)=min{β∈Ord::∃f:β→α:cofinal}
という定義
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
が成立するという意味
αが後続順序数の時は
f(0)をその前者の順序数にすれば
f:1→α:cofinal
となるから
cf(α)=1
cf(α)=α
であるαは
β<α=cf(α)
で
|β|=|α|
となるものが存在するとすると
（|β|≦|α|は自明）
f:β→α:iso
があるので
∀γ<α,∃δ<β:γ=f(δ)
すなわち
f:β→α:cofinal
なので
cf(α)≦β<α
となって矛盾なので
β<α→|β|<|α|
則ち
α=|α|（=min{β∈Ord::∃f:β→α:iso}）
つまり基数
基数は順序付けられて
ℵ0,ℵ1,…,ℵα,…（α∈Ord）
と書かれるけど
それぞれの順序型を
ω0,ω1,…,ωα,…（α∈Ord）
と書くと
αが後続順序数の場合
cf(ωα)=ωα
が成立する