数学基礎論・数理論理学　その20

ゲスですw

なぜV=LからGCHが出るのかの本質が>>275
>P(Vω0)⊂Lω1
この理解にあるらしい
これを理解すると直接
2^ℵ0=ℵ1
が導けることが分かるが
さらに
以下同様に
V=L::∀α,∃β:Vα⊂Lβ
から
P(Vωα)⊂Lω(α+1)
が言えることがわかるらしくて（どうするんだろ？）
これが
GCH::2^ℵα=ℵα+1

V=Lを仮定すると
P(Vω0)⊂Lα
となるαが存在する
|Lα|≧|P(Vω0)|=2^ℵ0≧ℵ1=ω1
より
α≧ω1
だから
α>ω1
なら矛盾が出ることを示せば良いのか

P(Vω0)⊂Lω1
これは
x∈P(Vω0)→x∈Lω1
すなわち
x⊂Vω0→x∈Lω1
つまり
x⊂Vω0→∃α<ω1:x∈Lα
を示せば良い
V=L
から
∃β:x⊂Vω0⊂Lβ
xは遺伝的有限集合のみを元として持つ集合

∪:Ord→Ord:∪(α)=∪α={x::x∈∃β<α}
とすると
∪(α+1)=α
α∈Lim（極限順序数）
なら
∪(α)=α
すなわち不動点となる
p:Ord→Ord:p(α)=|P(α)|=min{β::∃f:β→P(α):iso}
とすると
p(α)>α
なので不動点は無い
v:Ord→Ord:v(α)=|Vα|
とすると
v(α+1)=|Vα+1|=|P(Vα)|=|P(v(α))|=p(v(α))>v(α)
α∈Lim
なら
v(α)=|∪{Vβ::β<α}|≧|Vβ|=v(β) for all β<α
より
v(α)＝sup{v(β)::β<α}
かな

>>284
>v(α)＝sup{v(β)::β<α}
Card={α∈Ord::∀β<α:|β|<|α|}={α::∀β<α,∀f:β→α,∃γ<α,∀δ<β:γ≠f(δ)}
と定義され
ω:Ord→Card
を超限帰納法で
ω(0)=ω0=ℵ0
ω(α+1)=min{β∈Card::ω(α)<β}
α∈Lim
のときは
ω(α)=∪{ω(β)::β<α}∈Card
と定義する
ここで
ω=∪{ω(β)::β<α}∈Card
であることは
∀γ<ω,∃β<α:γ<ω(β)∈Card
なので
|γ|<ω(β)=|ω(β)|≦|∪{ω(β)::β<α}|=|ω|
となるため

NBGの対称はクラスで関係は∈
集合は
Set(x)≡∃C:x∈C
という述語で表される
大文字はクラス小文字は集合を表す変数
集合を表す変数とは
∀x:φ(x)≡∀x:(Set(x)→φ(x))
∃x:φ(x)≡∃x(:Set(x)∧φ(x))
と解釈する
NBGの公理は以下の通り：
�@（クラス外延性）
∀A.∀B:((∀x:(x∈A⇔x∈B))→A=B)
�A（対の公理）
∀x.∀y.∃z.∀a:(a∈z⇔a=x∨a=y)
�B（クラス存在公理）
�T（ε関係クラス）
∃E.∀x,y:((x,y)∈E⇔x∈y)
�U（連言クラス）
∀A,B,∃C,∀x:(x∈C⇔x∈A∧x∈B)
�V（否定クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔¬x∈A)
�W（ドメインクラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y:(x,y)∈A)
�X（直積クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y,z:(x=(y,z)∧y∈A))
�Y（巡回置換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(y,z,x)∈A)
�Z（互換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(x,z,y)∈A)
�C（正則性公理）
∀x:(x≠{ }→∃y:(y∈x∧x∩y={ }))
�D（集合存在公理）
�T（クラス置換公理）
∀F:((∀x,y,z:((x,y),(x,z)∈F→y=z))→(∀w:Set(F[w])))
�U（和集合）
∀x.∃y.∀z:((∃w:(z∈w∧w∈x))→z∈y)
�V（冪集合）
∀x.∃y.∀z:((∀w:(w∈z→w∈x))→z∈y)
�W（無限公理）
∃x.∀y.∃z:(x≠{ }∧(y∈x→z∈x∧y≠z∧∀w:(w∈y→w∈z)))
�E（大域選択公理）
∃A.∀x:((∀y,z:((x,y),(x,z)∈A→y=z))∧(x≠{ }→∃y:(x∋y∧(x,y)∈A)))

NBGでは通常の選択公理より強い大域選択公理を仮定するのが普通らしい
また互換クラスは3対で定義されているが2対の順序対について成立することを証明できるようだ
そしてとても重要なのが
�@クラス存在定理
これは
いくつかのクラスA1,…,Anと
自由集合変数x1,…xmについての1階述語論理式φ(x1,…,xm,A1,…,An)
に対して
{(x1,…,xm)∈V^m::φ(x1,…,xm,A1,…,An)}
というクラスが存在するという定理
および
�AZFCの保存拡大
これは
集合しか対象になっていないZFCで証明できる命題と
NBGで集合について証明できる命題は一致するというもの

これが成立しているため
クラスが無いZFCでも
自由にクラスを扱って良いことになる訳だな

なんでZFCに関する結論が得られるのかわからん

自由に扱えるなら全てのクラスからなるクラスもオッケーだな
すてき

（レス乞食はもうちょっと数学を勉強しないと）

<<数学は競争だ>>

パンだけ食ってゴールしないw

ポエム書かれても意味分からんのだが？
自由に扱えるってなんやねん

給水してパン食って帰るw

借り物をして返さずに帰るw

うちの子はなぜ一番じゃないの？

一人で走れば良いよw

>>286
NBGのクラス置換公理は単独の公理であり
ZFCの様な置換公理スキームにならないのは>>287
>�@クラス存在定理
のおかげで
論理式それぞれについて別々の公理にする必要が無いから
これによりNBGは有限公理化できているわけだ
クラスFとAに対してクラス存在定理より
F[A]={y::∃x∈A:(x,y)∈F}
というFによるAの像クラスが存在するが
クラス置換公理の言わんとするところは
Fをクラス関数
すなわち
∀x,y,z:((x,y),(x,z)∈F→y=z)
の成り立つクラスだとしたとき
xが集合ならF[x]も集合ということ
標語的に言えば「（クラス関数による）集合の像は集合」かな

ドメインクラスの存在公理は
別の書き方をすると
Dom(F)={x::∃y:(x,y)∈F}
が存在すると言っており
互換クラスの存在公理（から証明される転置クラスA^T）により
Dom(F)=F^T[V]
であるので不用と思うかも知れないが
クラス存在定理を証明するのにドメインクラスが必要だし
クラス存在定理は任意の論理式φ(x1,…,xm,A1,…,An)について成立するので
こちらを公理にしようとすると公理スキームになってしまう

NBGでVは
クラスとその補クラスの合併
すなわち
補クラスとクラスの連言クラスの補クラスとして定義するらしいが
これが
φ(x)≡x=x
の定義するクラスと一致するのは
クラス外延性からだな

>>301
>φ(x)≡x=x
>の定義するクラス
つまり
ZFCでもNBGでも
それに公理を追加しも
Vの定義は同じ
ていうか
追加する前のVより
追加した後のVの方が狭い
そりゃ当然よな
公理の追加＝理論の制限
なんだから

みんな大好きお兄さんのまったり集合論（数理論理学）・確率論勉強スレ
rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791094141/

ヨロピク

ヨロピクリン。
☆（ゝω・）vｷｬﾋﾟ

>>286
>�U（連言クラス）
A∩B
>�V（否定クラス）
cA
>�W（ドメインクラス）
Dom(A)
>�X（直積クラス）
A×V
>�Y（巡回置換クラス）
A^σ
>�Z（互換クラス）
A^T

しかし
これらって
クラスを引数にする函数みたいなのを考えてるってことよな
それってありなん？
公理にしてるんだからアリなのか？