数学基礎論・数理論理学　その20

NBGの対称はクラスで関係は∈
集合は
Set(x)≡∃C:x∈C
という述語で表される
大文字はクラス小文字は集合を表す変数
集合を表す変数とは
∀x:φ(x)≡∀x:(Set(x)→φ(x))
∃x:φ(x)≡∃x(:Set(x)∧φ(x))
と解釈する
NBGの公理は以下の通り：
�@（クラス外延性）
∀A.∀B:((∀x:(x∈A⇔x∈B))→A=B)
�A（対の公理）
∀x.∀y.∃z.∀a:(a∈z⇔a=x∨a=y)
�B（クラス存在公理）
�T（ε関係クラス）
∃E.∀x,y:((x,y)∈E⇔x∈y)
�U（連言クラス）
∀A,B,∃C,∀x:(x∈C⇔x∈A∧x∈B)
�V（否定クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔¬x∈A)
�W（ドメインクラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y:(x,y)∈A)
�X（直積クラス）
∀A,∃B,∀x:(x∈B⇔∃y,z:(x=(y,z)∧y∈A))
�Y（巡回置換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(y,z,x)∈A)
�Z（互換クラス）
∀A.∃B.∀x,y,z:((x,y,z)∈B⇔(x,z,y)∈A)
�C（正則性公理）
∀x:(x≠{ }→∃y:(y∈x∧x∩y={ }))
�D（集合存在公理）
�T（クラス置換公理）
∀F:((∀x,y,z:((x,y),(x,z)∈F→y=z))→(∀w:Set(F[w])))
�U（和集合）
∀x.∃y.∀z:((∃w:(z∈w∧w∈x))→z∈y)
�V（冪集合）
∀x.∃y.∀z:((∀w:(w∈z→w∈x))→z∈y)
�W（無限公理）
∃x.∀y.∃z:(x≠{ }∧(y∈x→z∈x∧y≠z∧∀w:(w∈y→w∈z)))
�E（大域選択公理）
∃A.∀x:((∀y,z:((x,y),(x,z)∈A→y=z))∧(x≠{ }→∃y:(x∋y∧(x,y)∈A)))