kが狭義単調増加であることと0<ω<k(0)を前提とする。

∀λ∈ON:(λ<k(λ)) をλに関する超限帰納法で示す。
λ=0：
　0<k(0)。
λは後続順序数：
　帰納法の仮定より、λ-1<k(λ-1)。
　kが狭義単調増加だから、λ≦k(λ-1)<k(λ)。
λは極限順序数：
　帰納法の仮定とkが狭義単調増加であることより ∀α∈ON:(α<λ⇒α<k(α)<k(λ))。・・・(1)
　(1)より、λ={α∈ON|α<λ}⊂{α∈ON|α<k(λ)}=k(λ)。
　λ=k(λ)とすると(1)より ∀α∈ON:(α<λ⇒k(α)<k(λ)=λ) より k(0)<λ だが、λ=ωが反例。よってλ<k(λ)。

極限順序数μに対し k(μ)=k(∪μ)=∪{k(α)::α<μ} が成立すると仮定。
和集合の定義より、∀x:(x∈k(μ)⇒∃α<μ:(x∈k(α)))
μは極限順序数だから、∀α<μ.∃β<μ:(α<β)
kは狭義単調増加だから、∀x:(x∈k(μ)⇒∃α<μ.∃β<μ.∃y∈k(μ):(x∈k(α)∧α<β∧x<y∈k(β)))
よってk(μ)は非有界。よってμからk(μ)への共終写像（α→k(α)）が存在。よってcf(k(μ))≦μ。・・・(2)
一方k(μ)は正則基数だから、cf(k(μ))=k(μ)。・・・(3)
(2),(3)より、μ≧k(μ)だが、∀λ∈ON:(λ<k(λ)) と矛盾。よって k(μ)=k(∪μ)=∪{k(α)::α<μ} は不成立。