>狭義単調増加とω<k(0)しか使ってないからKの特殊性はなく
その通り。
>∀λ∈ON:(λ<k(λ))
は狭義単調増加とω<k(0)だけから出る。
一方、
>k(μ)=k(∪μ)=∪{k(α)::α<μ} は不成立
はk(x)が正則基数であることから出る。つまりKの特殊性をしっかり使ってる。