多変数解析函数論6

多変数関数論（多変数複素解析）について語り合いましょう！


■前スレ
多変数複素解析5
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1752363558/

結論から言うと、\(\mathbb{P}^{2}\)（\(\mathbb{C}^{2}\)）内のリプシッツ連続な境界を持つ任意の擬凸領域 \(D\) に対し、それを超平面として含む \(\mathbb{P}^{3}\)（\(\mathbb{C}^{3}\)）内のリプシッツ連続な境界を持つ擬凸領域 \(\Omega \) で \(\Omega \cap \mathbb{P}^2 = D\) を満たすものは常に存在します。
☆構成の概要
・リプシッツ境界の定義関数の拡張:\(D \subset \mathbb{C}^2\) の境界 \(\partial D\) がリプシッツ連続であるとは、局所的にリプシッツ連続な関数によって定義されることです。この \(D\) の定義関数（signed distance function など）を \(\rho_D(z_1, z_2)\) とすると、\(\rho _{D}\) はリプシッツ連続です。
・\(\mathbb{C}^{3}\) への持ち上げ:第三の複素変数 \(z_3 \in \mathbb{C}\) を導入し、\(\Omega = \{(z_1, z_2, z_3) \in \mathbb{C}^3 \mid \rho_D(z_1, z_2) - \vert{}z_3\vert{}^2 < 0\}\)（あるいは単に \(z_{3}\) の実部・虚部に関する適当なリプシッツ関数を組み合わせたもの）として \(\Omega \) を定義します。
・擬凸性と境界の正則性:このように定義された \(\Omega \) は、プルリサブハーモニック（plurisubharmonic）な関数や凸性・擬凸性の性質を保ちつつ \(D\) を断面として持ちます。また、境界 \(\partial \Omega\) のリプシッツ性は元の \(\rho _{D}\) のリプシッツ性と \(\vert{}z_3\vert{}\) の滑らかさから従います。

プルリサブハーモニック性の確認
複素射影空間 \(\mathbb{P}^{n}\) 内の擬凸領域の議論は、通常、アフィン空間 \(\mathbb{C}^{n}\) 上での局所的な議論（局所擬凸性）に帰着されます。ここでは、\(\mathbb{C}_{z_{1},z_{2}}^{2}\) 内の領域 D の定義関数から、\(\mathbb{C}_{z_{1},z_{2},z_{3}}^{3}\) 内の領域 Ω の定義関数を構成し、そのプルリサブハーモニック（plurisubharmonic, 以下 psh）性を確認する詳細な手順を解説します。
1. 定義関数の構成\(D \subset \mathbb{C}^2\) は擬凸領域（強擬凸とは限らない）であるため、その境界 ∂ D がリプシッツ連続であれば、D 上で次の条件を満たすリプシッツ連続な連続不連続の境界を持つ psh 連続定義関数 \(\rho _{D}\) が存在します。\(D = \{ z \in \mathbb{C}^2 \mid \rho_D(z) < 0 \}\)\(\partial D = \{ z \in \mathbb{C}^2 \mid \rho_D(z) = 0 \}\)\(\rho _{D}\) は D の近傍で psh（擬凸性の定義より、連続な psh 枯渇関数を境界付近で調整可能）
この \(\rho_D(z_1, z_2)\) を用いて、\(\mathbb{C}^{3}\) 内の領域 Ω の定義関数 \(\rho_\Omega(z_1, z_2, z_3)\) を以下のように定めます。\(\rho _{\Omega }(z_{1},z_{2},z_{3}):=\rho _{D}(z_{1},z_{2})+|{}z_{3}|{}^{2}\)このとき、\(\Omega = \{ (z_1, z_2, z_3) \in \mathbb{C}^3 \mid \rho_\Omega(z_1, z_2, z_3) < 0 \}\) とします。z₃ = 0（すなわち \(\mathbb{P}^{2}\) に相当する超平面）上では \(\rho_\Omega(z_1, z_2, 0) = \rho_D(z_1, z_2)\) となり、\(\Omega \cap \{z_3=0\} = D\) を満たします。また、|z₃|² は滑らかなリプシッツ関数（有界領域内）であるため、\(\rho _{\Omega }\) もリプシッツ連続性を保ちます。

2. プルリサブハーモニック（psh）性の確認
\(\rho _{\Omega }\) が Ω の近傍で psh であることを確認します。関数が psh であるかは、任意の複素直線に制限したときに複素1変数で劣調和（subharmonic）になるかで判定します。
�@ リプシッツ連続（一般化されたラプラシアン）でのアプローチ\(\rho _{D}\) はリプシッツ連続（C² 級とは限らない）であるため、通常のレヴィ形式（Hessian）の行列が計算できません。しかし、psh 性は分布（distribution）の意味、あるいは粘性解（viscosity solution）の意味で複素ヘッセ行列が半正定値であることと同値です。任意のテスト関数（あるいは複素ベクトル \(v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{C}^3\)）に対して、分布の意味でのレヴィ形式を考えると、\(i\partial \={\partial }\rho _{\Omega }=i\partial \={\partial }\rho _{D}(z_{1},z_{2})+i\partial \={\partial }|{}z_{3}|{}^{2}\)となります。
第1項 \(i \partial \bar{\partial} \rho_D\):\(\rho _{D}\) は (z₁, z₂) に関して psh であるため、分布の意味で \(i \partial \bar{\partial} \rho_D \ge 0\) （半正定値の測度）です。これを \(\mathbb{C}^{3}\) に引き戻した（pull-back）行列は、z₃ 方向の成分がすべて 0 の半正定値行列になります。
第2項 i ∂ ∂̄ |z₃|²:|z₃|² は (z₁, z₂) に依存せず、z₃ に関して厳密に psh です（レヴィ形式は \(i dz_3 \wedge d\bar{z}_3 > 0\)）。
これらを足し合わせた全体のレヴィ形式は、半正定値行列の和となるため、分布の意味で半正定値（≥ 0）になります。

�A 複素直線への制限による確認（定義通りの確認）任意の点 P(z₁, z₂, z₃) ∈ Ω と、任意の方向ベクトル \(v = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{C}^3 \setminus \{0\}\) を取ります。複素1変数 \(\zeta \in \mathbb{C}\) （|ζ| < ε）に対する関数\(h(\zeta ):=\rho _{\Omega }(P+\zeta v)\)が、ζ に関して通常の劣調和関数であることを示します。\(h(\zeta )=\rho _{D}(z_{1}+\zeta v_{1},z_{2}+\zeta v_{2})+|{}z_{3}+\zeta v_{3}|{}^{2}\)
右辺第1項: \(\rho _{D}\) は psh なので、複素直線上への制限 \(\zeta \mapsto \rho_D(z_1 + \zeta v_1, z_2 + \zeta v_2)\) は連続な劣調和関数です。
右辺第2項: \(\zeta \mapsto \vert{}z_3 + \zeta v_3\vert{}^2 = \vert{}z_3\vert{}^2 + 2\text{Re}(\bar{z}_3 \zeta v_3) + \vert{}\zeta\vert{}^2 \vert{}v_3\vert{}^2\) は、ζ について \(C^{\infty }\) 級の滑らかな関数であり、そのラプラシアンは \(\Delta_\zeta \vert{}z_3 + \zeta v_3\vert{}^2 = 4\vert{}v_3\vert{}^2 \ge 0\) です。したがって、これも劣調和関数です。
劣調和関数の和は劣調和関数であるため、h(ζ) は劣調和関数となります。これが任意の P, v で成り立つため、\(\rho _{\Omega }\) は Ω の近傍で psh です。