【トポロジー】位相幾何学 11 　【ホモトピー　ホモロジー】　

位相幾何のスレです
位相幾何について議論しましょう
初学者のまじめな質問も歓迎します
位相微分幾何も含む

>>1
乙

大学の幾何は入るまでに蓄積が必要
線形代数，微分積分，集合・位相，代数系をやって
多様体，基本群，ホモロジーの講義が３年生になってしまう
ほんとうは新入生からできるのにな

>>3
長野正「曲面の数学」ぐらいのことをシレッと旧教養課程でやってたの？。

新入生が読む位相幾何のガイダンスとして
山本修身『よくわかるトポロジー』森北出版がいい
ホモトビーとホモロジーの両方あってわかりやすい
基本群と１次ホモロジー群の関係も書いてある

やわらかい穴

やらないか

結構ですw

ホモロジーは瀬山士郎『トポロジー　やわらかい幾何学』が
いまも定番入門書

トポロジーはハッチャーとボットトゥーで

>>9
あんな本より田村一郎の方が定番入門書だ

トポロジーは計算するという目的意識が大切

>>12
計算論から見たホモトピー型論理とかそっち？。

>>13
もっとカジュアルに、「ホモロジーを計算したい」という目的意識を持つと論理展開を追いやすいということ
というのも、トポロジーの教科書は大抵、初学者から見ると抽象的すぎてわかりにくい

本当は初等幾何のように適当な例を作って遊べるのに、そのことが初学者にはまず伝わらない気がする
勿体無い

ホモロジーの入門書は
計算で身につくトポロジー　阿原 一志 (著)
がおすすめ
第一部　グラフのホモロジー　完全列　レトラクトのホモロジー不変性
第２部　曲面のホモロジー　曲面の分類
新入生から読める

MaclaneのHomologyも新入生から読める

>>16
商空間のホモロジーは説明されているか？

新入生が読める基本群と普遍空間の本として
久賀道郎『ガロアの夢―群論と微分方程式』日本評論社

位相空間は棄てられる運命にあるやもしれん
https://arxiv.org/abs/2605.03658
にて解説（定義）されている凝縮集合が
位相空間に取って代われば
代数幾何の手法を自由自在に導入できるらしい
しかも既存の位相空間は対応する凝縮集合によって
理解することができるとのこと

凝縮数学なんて一部の目的にしか役に立たないから
位相空間にとって代わったりはしない
創始者の一人だってそう認めている
https://mathoverflow.net/questions/420355/algebraizing-topology-and-analysis-via-condensed-mathematics
特に現象そのものが汚い解析学を綺麗に扱おうなんて
人間の傲慢であってそもそも無理

現象そのものが汚い解析学www
代数解析学なんてwww

凝縮数学だけを見ているとありがたみが分からない
ピクノティックや凝縮数学を超えたところに真実がある
がしかし、人類のレベルはまだそこまで到達していない

それグロたんの吹いた
モチーフに似たかほり

どうやら位相の世界には階層があるようだ
通常の数学があってその上に凝縮数学がある
さらに凝縮数学の上の階層がピクノティック
それで終わりということでなくまた上がある
モチーフのアイディアとは少し違ってるかも
いずれにしてもショルツは到達できていない

>>25
偉そうに

凝縮数学スゴイで止まってる場合ではない
もっともっとさらに先を見ないといけない
そうすることで数学とは何かが見えてくる
天才ショルツ果たしてそこへ到達できるか

スゴイも何もマルで分からない
どうスゴイの？

数学は1人の力で発展するものではない
ショルツ以外の数学者が発展させてもショルツの限界とは言われない

ショルツが構築したパーフェクトイド空間は
p-進数の極限からなる通常を超えた世界なので
もはや古典的な実数の世界とは異なっているため
古いトポロジーを諦めて別のものを探したのだ

松本幸夫『トポロジー入門』は名著
『多様体の基礎』に匹敵する
残念なのは岩波書店から出したこと

基本群、ホモロジーと学んだら
次はファイバー束

凝縮数学とかピクノティックとかという対象は別に良いとして、
ここで繰り返されている書き込みは、何かそれと無関係なことを主張しようとしてるんじゃないか？
やれ「天才」だの「数学の何たるか」だの「人類のレベル」だのと
数学を手段としたもう一方で、本当は権威のダイナミズムに陶酔したいのではないかね
個人的には、論理の体裁に欲望を混ぜ込むようなひねた文章は嫌いだ

もうちょっと地に足のついたことに絞って言葉と頭を取捨選択すればいいのに。

ある時期までは代数的位相幾何学が数学の最先端だったんだよ

遠アーベル幾何は通常曲線に関する理論だけども
高次元の図形を復元するには基本群だけでは不十分
こういう高次元遠アーベル幾何の研究はないのか

>>36
たしか
遠アーベルの定義自体が
基本群の誘導写像で特定できる
みたいなんじゃなかったっけ？

>>36
あと基本群は基本非可換だが
高次は可換なのでは

低次元トポロジーに難問が集中してる。
高次元や無限次元は基本的に可換環論やコホモロジーで対処できた。

>>35
物理学サイドからの場の量子論のアイディアを中心に
低次元トポロジーの難問が攻略されつつある
された。

>>39
次元上げるとドンドン自由度上がるからだと言うが
究極の無限次元がよく分からないや
無限次元球面S^∞やS^ωが可縮なのは分かるが
これらがR^∞やR^ωと同相になるというのがワカラン
さらに
非連結も含めたコンパクトセットKについての
R^∞¥KやR^ω¥Kとも同相になるとのことだが
（この辺「無限次元球面は可縮」スレ）

いままでやってきたのは
低次元の概念を高次元で考えたら高次元のほうが簡単に解けただけのこと
高次元は高次元での低次元にはない概念の問題が存在すると思う

ノット（リンク）も1次元多様体の3次元への埋め込みの話だけど
高次元ノット（リンク）についても分類とかは難しいのかな

34℃
晴れ

4次元空間内ではどんなひもも解ける