背理法は不要なのか2

つづき

歴史
直観主義の歴史は、19世紀の数学における二つの論争に遡ることができる。

その最初の例は、ゲオルク・カントールによる超限算術の発明と、その後、彼の師であるレオポルド・クロネッカー（確固たる有限主義者）をはじめとする多くの著名な数学者によるその否定である。

その2つ目は、ゴットロープ・フレーゲが集合論を通して数学のすべてを論理的な定式化に還元しようとした試みと、若きバートランド・ラッセル（ラッセルのパラドックスの発見者）によるその試みの頓挫である。フレーゲは3巻からなる決定的な著作を計画していたが、第2巻が印刷に回される直前に、ラッセルはフレーゲに手紙を送り、フレーゲの自己参照規則の1つが自己矛盾していることを示したパラドックスを概説した。第2巻の付録で、フレーゲは自身の体系の公理の1つが実際にラッセルのパラドックスにつながったことを認めた。[ 4 ]

伝えられるところによると、フレーゲは鬱状態に陥り、予定していた第3巻を出版しなかった。詳しくは、デイヴィス（2000）の第3章と第4章「フレーゲ：突破から絶望へ」および「カントール：無限への迂回路」を参照のこと。原著およびヴァン・ヘイエノールトの解説については、ヴァン・ヘイエノールトを参照のこと。

これらの論争は密接に関連している。なぜなら、カントールが超限算術における自らの成果を証明する際に用いた論理的手法は、ラッセルがパラドックスを構築する際に用いた手法と本質的に同じだからである。したがって、ラッセルのパラドックスをどのように解決するかは、カントールの超限算術に与えられる地位に直接的な影響を与える。

20世紀初頭、LEJ Brouwerは直観主義の立場を、David Hilbertは形式主義の立場を代表した（van Heijenoortを参照）。Kurt Gödelはプラトン主義と呼ばれる意見を述べた（Gödelに関する様々な資料を参照）。Alan Turingは、「証明のすべてのステップが機械的ではなく、一部が直観的である非構成的論理体系」を考察した。 [ 5 ]その後、Stephen Cole Kleeneは、メタ数学入門（1952年）で直観主義についてより合理的な考察を行った。[ 6 ]

ニコラ・ジザンは直観主義数学を採用して量子不確定性、情報理論、時間の物理学を再解釈している。[ 7 ]
(引用終り)
以上

あなたが逃げてもあなたの言うところの読み手は逃げないよ

自分1人で理屈捏ねても損するのは自分なのに
あなた以外はあなたを無視すればそれで済むから

>>100
『背理法被害者の会』の関係者は、放置して （＾＾
先へ進む

ハイティング代数と直観主義 下記 ご参照
要するに、ハイティング代数は直観主義論理を形式化するために アレン・ハイティングにより導入された
ということ

これは大事だね
直観主義論理は、形式化できる

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0
ハイティング代数
(抜粋)
ハイティング代数は 1930年に直観主義論理[2]を形式化するために アレン・ハイティングにより導入された。
ハイティング代数は束として分配的である。
¬a の直観的内容は、a を仮定することで矛盾が導かれることである。この定義から が判る。更に a≦¬¬a が示されるが、その逆向きの不等式 ¬¬a≦a は一般には正しくない。つまり，ハイティング代数において二重否定の除去は一般には成立しない。
ハイティング代数は、ブール代数の一般化である。つまり、ハイティング代数に排中律 、または二重否定の除去 を課したものがブール代数である。ハイティング代数 H の ¬a の形の元はブール束をなすが、それは一般に H の部分代数とはならない(以下で説明する)。
ハイティング代数は、ブール代数が古典論理[3]のモデルとなるのと同じように、直観主義命題論理のモデルとなる。初等トポスの内部論理は、終対象 1の部分対象 (1 から subobject classifier（英語版） Ω への射と同値)に包含で順序をつけてできるハイティング代数を基にしている。

直観主義論理の公理を使った特徴づけ

直観主義命題論理のリンデンバウム代数（英語版）はハイティング代数。

初等トポスのsubobject classifier（英語版）Ωのglobal element（英語版）全体はハイティング代数をなす。これはトポスから誘導される高階直観主義論理の真理値からなる代数である。更に、一般にトポスの任意の対象 X の部分対象の集合はハイティング代数をなす。

証明可能な等式

上記の条件をみたすハイティング代数は、一般にハイティング代数が直観主義論理と関係づけられるのと同じ意味で、中間論理と関係づけられる。

普遍構成
直観主義論理を念頭においた命題論理式のハイティング代数

直観主義論理とハイティング代数

https://en.wikipedia.org/wiki/Heyting_algebra
Heyting_algebra
(google訳)
(抜粋)
ハイティング代数は、ブール代数が命題古典論理をモデル化するのと同様に、命題直観主義論理の代数モデルとして機能する。[ 3 ]基本トポスの内部論理は、包含によって順序付けられた終端オブジェクト1の部分オブジェクトのハイティング代数、つまり 1 から部分オブジェクト分類子Ω への射に基づいている。

直観主義論理の公理を用いた特徴付け

直観主義論理に適用されるヘイティング代数

関連項目
・超直観主義（中間）論理

バカは長文コピペ大好き

スルーが一番

論理より自分の信条を優先してるんだから
そりゃいざとなったら理屈捨てて開き直るよな

長文をやめるだけのことが、必死に殻に篭らないといけないほど難しいらしい

ここまで執着するなら
今まで似たようなことで周りの人を失望させてきたんだろうな
周りが親身になってるのにそれに気づかず
全員離れるまでマイルールに固執して
最後には1人になって
一生そのパターンを繰り返すんだろうな

隔離スレとしてみればまあいあけど、スレが900行く前に次スレ立てやがるから目障りではある。

>>106
>スルーが一番

ID:u61Le9Yc は、御大か
巡回ありがとうございます

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1784358959/431
「アホはスルーが一番」とのアドバイスか （＾＾
昔、お亡くなりになられたが プロ棋士の南善己九段にならっていたとき
「自分より強い人の強さは、なかなか分からないものだ」と言われた

アマ２〜３級レベルだとそうなのでしょね
アマ２〜３級へぼ碁クラスの評に釣られるなと
（数学も同じ）

（直観主義論理は排中律無いだけだから形式化できないわけはない）

>>112
>（直観主義論理は排中律無いだけだから形式化できないわけはない）

うむ
その見方は、歴史的には
Category theory の発展を待たなければならなかった
下記の Category theory、トポス (数学)、Curry–Howard correspondence
を ご参照

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
Category theory
Historical notes
Categorical logic is now a well-defined field based on type theory for intuitionistic logics, with applications in functional programming and domain theory, where a cartesian closed category is taken as a non-syntactic description of a lambda calculus.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス (数学)
トポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である
数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
数理論理学との関わり
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。
こうして構成される集合論のモデルのうちには排中律が成り立たないような直観主義的モデルも自然に現れる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2%80%93Howard_correspondence
Curry–Howard correspondence
(google訳)
カリー・ハワード対応
このアイデアは、LEJ ブロウワー、アーレント・ヘイティング、アンドレイ・コルモゴロフ（ブロウワー-ヘイティング-コルモゴロフ解釈を参照）[ 2 ]およびスティーブン・クリーネ（実現可能性を参照）によってさまざまな形で与えられた直観主義論理の操作的解釈に関連している。この関係は、カリー-ハワード-ランベックの3方向対応として、圏論を含むように拡張されている。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

>>111
君を無視しようと言ってるんだと思うよ
文脈的に

ですね

てすと

>(参考)
↑
(俺にはチンプンカンプンだけど数学分かってると思われたいからコピペ貼っとこっと)

日本語wikiそんな訳なのか
aiかなんかの自動翻訳なんやろな
めちゃくちゃ

結局背理法が不要であるという主張は誤りってことでいいね

>>119
>結局背理法が不要であるという主張は誤りってことでいいね

はっきりいうが
「背理法が不要であるという主張は誤り」です
当然ですが

>>118
>日本語wikiそんな訳なのか
>aiかなんかの自動翻訳なんやろな
>めちゃくちゃ

日本語wikiで たまに意味が通らない記述があって
英文wikiを見に行くと
あ これ日本語wikiの元ネタで 誤訳しているっぽい
というのが、結構ありよ

個人の嗜好に正しいも誤りも無い

対偶 Contraposition en.wikipedia
√2 の無理数の証明を 扱っている（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
Contraposition
(google訳)
対偶

Proof by contrapositive
対偶による証明

However, indirect methods such as proof by contradiction can also be used with contraposition, as, for example, in the proof of the irrationality of the square root of 2. By the definition of a rational number, the statement can be made that "If
√2 is rational, then it can be expressed as an irreducible fraction". This statement is true because it is a restatement of a definition. The contrapositive of this statement is "If
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it is not rational". This contrapositive, like the original statement, is also true. Therefore, if it can be proven that
√2 cannot be expressed as an irreducible fraction, then it must be the case that
√2 is not a rational number. The latter can be proved by contradiction.

ただし、例えば、 √2 の無理数の証明のように、背理法などの間接的な方法も対偶とともに使用できる。有理数の定義により、「もし
√2が有理数であれば、既約分数として表すことができる」。この文は定義の言い換えであるため真である。この文の対偶は「もし
√2既約分数として表現できないならば、それは有理数ではない」。この対偶も、元の命題と同様に真である。したがって、もし証明できるならば、
√2既約分数として表現できない場合、次のことが成り立つはずです。
√2は有理数ではない。後者は背理法によって証明できる。

>>122
√２が有理数でないことの証明も理解出来ん中卒は書き込むな

そのメチャクチャな訳を意味も分からず引用したら正しい認識なんかできるはずないわな

>>121
個人の嗜好と言い切るには主語がデカいな
「俺は背理法を使いません」で済ませておけばよかった
まるで背理法が不要であるかのような書き方をしてるから誤りだと言われてるわけ

ルート2が有理数ではないことを、背理法を使わずに証明するにはどうすればいいの？

平面初等幾何の範囲内で、「与えられた任意角の3等分は初等作図することは不可能である」を証明可能だろうか？
背理法を使えば、可能なのか？　座標幾何や実数論や代数学や体論などは持ち出さないで、
あくまでも初等平面幾何の範囲内で証明を行うこととする。
想像するに、そのように手段を制限されると不可能性の証明をすることが
実はできないのではないだろうか？

隔離スレ

>>126
素因数分解可能性一意性を使うらしい
2n^2を素因数分解すると2が奇数個
m^2を素因数分解すると2は偶数個
だから
2n^2≠m^2
よって
√2n≠m
で
√2≠m/n

でも
そもそも素因数分解可能性や一意性は
背理法をたんまり使ってるけどね

それにそもそも
無理数は有理数でない実数というのが定義なのだから
有理数でない＝有理数と仮定すると矛盾
は定義そのものなんだけどね
「〜ではない」の定義が「〜と仮定すると矛盾」なのだから

それにそもそも
整数が（自然数が）
偶数と奇数の直和になるというのは
背理法で示すんじゃないかな
とか思い出すと何でも背理法使ってるような気になってくるけどね

なげーよ
語尾と修飾語と接続詞減らせ

なげーよ
語尾と修飾語と接続詞減らせ

でないとダラダラして見える

>>135
無駄むだムダ無だ

実数の公理を設けなければ、有理数体の世界にはルート2は存在しないので、
2の平方根という数は存在しない数になるだろう。でもルート2があると考えて
形式的に式√2で表すと便利につかえるだろう。それはまるで実数の世界には
−1の平方根が無いから虚数は存在しない数なのだが、存在するかのように
思って使うと便利だったりするように。元の世界を広げて存在しないはずの
ものを付け加えて、元の世界は拡張された世界の一部だったことにしている
わけだ。それで矛盾が起きなければ良い。モデルとして実数が数直線なら
虚数を含めた複素数のモデルは平面で、それは実数の対によって表現できる
とし、矛盾が起こらないことを実数の言葉で説明・証明したので、複素数は
使っても良いものになった。

>2の平方根という数は存在しない数になるだろう。
存在しないのは存在反証される数であって存在証明されない数ではない

>>138
ですね