ヤコビアン予想の反例

f(x,y,z)=(1+xy)^{3}z+y^{2}(1+xy)(4+3xy)
g(x,y,z)=y+3x(1+xy)^{2}z+3xy^{2}(4+3xy)
h(x,y,z)=2x-3x^{2}y-x^{3}z

はい、ヤコビアン予想はロビン・ハーツホーンの著書『Algebraic Geometry』第1章第3節の演習問題（Exercise I.3.19）として掲載されています。


ただの演習問題が解けただけで何を騒いでるの？

>>38
解けた？

2変数の場合は依然として未解決
ポアンカレ予想も高次元が先に解けて3次元が本丸として残った

>>36,38
鬼の首は取れた？

R^2からR^2の多項式写像で、ヤコビアンは各点で正でありながら単射ではない例がある
最初に構成された例ではヤコビアンの下界が0だったが、後に各点のヤコビアン>εとなるε>0が存在するような例が構成された
https://www.dm.ufscar.br/profs/franciscobraun/Arquivo/artigos/2023_Jacobian.pdf

3次元のポアンカレ予想ってペルレマンによって既に解かれたのじゃなかった？

だね

反例が見つかったら、次は必要十分条件を求めること

だが実際は放置される事が多い

元手にする三次式を高次にすればいくらでも反例作れるみたいね

もしかして一流の数学者になるにはAnthopicやOpenAIに入社して無制限最先端モデルを使うって時代になるのか

ティマーマンなら最低でも年俸数億クラスの契約だろうな

シャファレヴィッチは
2次元の場合は正しいかもしれないが
３次元では反例があるだろうと
予想していたそうだ

反例となる多項式写像の特徴付けは？　背後になんらかの隠れた構造があっての事情だったりしないものだろうか。
つまりそのような特徴を持ったものを除けば成り立ったりしないだろうか。

「ヤコビアンが定数になるような多項式写像は、そのほとんどのものについては逆写像が多項式写像である。」
は成り立つのだろうか？

AI に聞けばすぐ答えが