お兄さんと一緒にルベーグ積分を勉強しよう！

お爺さんて言ったらダメだよw

おっさんは「名誉教授」に同じ匂いを感じている

おっさんではない。
スレタイをきちんと見てね。

37才、現実を見よう

最近お兄さんと言われたんだから、現実なのである。

ゲス爺はゲスでゲス

もうね、何爺でも良いのよ。
それなりに勉強できればね。

明日は図書館に演習の本を見に行こう。

今日は４０１に講演を聴きに行こう

借りてきた。

E_n↑Eみたいな記号の意味がやっと分かった。

↑ｽｩｩ、ﾓｯﾁｬﾏ↓w

ﾎﾟｯﾁｬﾏ

単なる捻くれ者ｗ

その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族は、σ加法族になるかぁ。
ふむふむ、勉強になる。

件の集合族をΣとする。
１．高だか可算なRの部分集合は存在するからΣは空でない。
２．aが高だか可算ならa^cは「補集合が高だか可算」。a^cについても同じ。よって a∈Σ ならば a^c∈Σ 且つ a^c∈Σ ならば a∈Σ。よってΣは補演算について閉じている。
３．以下、Σは可算和について閉じていることを示す。

高だか可算でない集合は非可算だから、非可算集合の全体は
タイプ1.補集合が高だか可算である非可算集合
タイプ2.補集合が非可算である非可算集合
のふたつのタイプに完全に分類できる。このうちΣの元はタイプ１集合のみ。

「可算和について閉じている」の反例が存在するかという問題は、高だか可算な集合またはタイプ１集合の可算和がタイプ２集合になり得るかという問題に焼き直せる。

高だか可算集合の可算和は高だか可算集合なので、可算和がタイプ２集合になるためには可算和の中に少なくとも一つのタイプ１集合が必要。
しかしそのときタイプ1集合のサイズが大きすぎるがゆえに可算和はタイプ２集合になり得ない。（ドモルガンの法則を使えばきっちり示せる。）
したがってΣの元をどう選んでもその可算和はタイプ2集合になり得ない。従って「可算和について閉じている」の反例は無い。

以上からΣはσ加法族。

ド・モルガンのところが気に入ったので書いてみた次第。

>>647
補集合を取ることで閉じた集合族A（B∈A→cB∈A）の元によって生成される完全加法族Σとは
ΠA={∩{An:n∈N}:An∈A}
Σ=ΣΠA={∪{An:n∈N}:An∈ΠA}
のこと
Aの元は有限か補有限
ΠAの元は有限か補有限
ΣΠAの元は有限か補有限

>>647
同じ考察を可算で行う

ここで可算の厳しさがでる

出ないよ
Aの元が可算か補可算なら
ΠAの元も可算か補可算
ΣΠAの元も可算か補可算

ℵ2のときはさらに
Aの元がℵ1以下か補ℵ1以下なら
ΠAの元もℵ1以下か補ℵ1以下
ΣΠAの元もℵ1以下か補ℵ1以下
ℵ3のときのℵ2以下でも同じだし
ℵ4のときのℵ3以下でも同じ

可算というよりℵ1未満というべきかな
有限はℵ0未満だから統一性が出る
ℵ2の集合なら
ℵ0未満ℵ1未満ℵ2未満で同じことが言える
ℵ3の集合なら
ℵ0未満ℵ1未満ℵ2未満ℵ3未満で同じことが言える

ああダメか
有限の可算合併は可算だから
むしろ有限については成立しない
ℵ1未満（可算）でしかダメ
ℵ2の集合でも
ℵ1未満とℵ2未満だけ
完全加法族はℵ0加法族だからだな
それをℵ1加法族にした場合は
ℵ1の集合については何も言えず
ℵ2の集合についてはℵ2未満については言えるし
ℵ3の集合についてはℵ2未満ℵ3未満について言える
一般には
ある濃度ℵについてのℵ加法族を考えるとき
ℵより大きな濃度ℵ'の集合について
ℵ未満からℵ'未満までについて言えるか

ああそうか
完全加法性をℵ0加法性と呼ばず
ℵ1未満加法性と呼べば
有限加法性をℵ0未満加法性と呼べて
ℵ0未満加法族について
Aがℵ0未満集合とその補集合からなる集合族の場合に
ΠAの元もℵ0未満か補ℵ0未満
ΣΠAの元もℵ0未満か補ℵ0未満
で統一的に扱える

濃度の高いカフェオレが好物。

σ加法族　押し出し

結局
無限濃度ℵについて
ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
ってことで統一できるな

アレフヌル

べき集合と濃度

それは
Aの元がℵ未満の濃度の部分集合（の全部でなくても良い）のとき
CA={cB:B∈A}
は補ℵ未満の集合族で
ℵ未満加法性について
Π(A∪CA)はℵ未満か補ℵ未満集合族
Σ=ΣΠ(A∪CA)もℵ未満か補ℵ未満集合族
このΣがℵ未満加法族となるから
Aがℵ未満の濃度の部分集合全体なら
A∪CAはℵ未満か補ℵ未満部分集合の全体
このときΣがℵ未満か補ℵ未満集合族だから
A∪CA⊂Σ⊂A∪CA
より
Σ=A∪CA

>>649 >>650
あなたがあなたの方法論を述べたければ自由に述べればよいが、>>646の命題に対する証明である>>647をアンカする必要は無い。
方法論は証明について何も語ってないのだから。

ワクワク

>>663
証明だって判ってないのかな
ま>>649は有限（ℵ0未満）について完全加法性が成立すると書いてるから正しくなかったが>>650で

細かいところまで書いて一般化したのが>>662

有限集合なら σ-加法族と有限加法族は一致すると、とあるサイトで見た。

>>665
証明のつもりだったのね？　では
>補集合を取ることで閉じた集合族A
なる仮定（＝Aの定義）から
>Aの元は有限か補有限
なる結論を導出した推論過程を明示的に書き下してみて

私はその仮定からその結論は導出できないと思うけど、できると言うなら示してみて、よろしく

>>665
あと、君が証明を書いたと言うならそういうこととして、なぜ何も語ってない>>647をアンカしたの？
間違ってると言いたいの？　でも君は証明のギャップを何一つ示してないよね？

朝から趣味で数学談義。
なかなか世の中には理解されないかw

箱入り無数目スレの続きかな、ファイトw

>>669
同じことを別証明書いただけだけど

>>668
>>665,666
>細かいところまで書いて一般化したのが>>662

>>672
なんで根掘り葉掘り聞きださないと言わないの？
君が何を考えてるか他人は知り様が無いことを理解しない？
で、その証明とやらは証明になってるの？　そうは見えないけど　具体的には例えば>>668

>>667
その通り
だから最終的に>>659
に集約される

>>649ってどうみてもΣなる集合の定義しか書いて無くない？
Σがσ加法族であることはどこで示されてるの？
てかそれ示すためにはσ加法族の定義が必須なんだけどそれも書かれてないじゃん

いったい何を証明したつもりなんだろう？？？

σ加法族であるはずのΣの定義を書いたってこと？
「はず」はあくまで「はず」であって証明ではないよね？　証明は無いの？
馬鹿な私でも分かるような説明希望

>>676
Σが完全加法族であることは自明だと思ってた
そうかそれは次のように示される
ΣΣ=ΣΣΠA=ΣΠA=Σ
ΠΣ=ΠΣΠA=ΣΠΠA≒ΣΠA=Σ
CΣ=CΣΠA=ΠCΠA=ΠΣCA=ΠΣA=ΣΠA=Σ

>Σが完全加法族であることは自明だと思ってた
それを証明と称していたのね？　了解　もう何も聞かない

燃料投下に勤しむおにぃw

>>679
ある集合族から完全加法族を作るにはどうするのか学んだんじゃないのか

>>674
面倒くさいから

ていうか
数学は戦争なんだから
根掘り葉掘り聞き出せよ

戦争ではないと思うが、疑問があったら素直に聞けばよいと思う。
発表して質疑応答で何もないのは悲しい。

実数R上だとΣは補演算で閉じないらしい。
それクリアするためには可算和と可算交差の操作を最小の非可算順序数回まで繰り返す必要があるとのこと。
AIの受け売りだからホントかは知らん。

>>683
その価値があればね

教員でもない
>ああダメか
とか言っちゃう人から根掘り葉掘り聞き出す価値は無いだろう

「その集合自身、あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族は、σ加法族になる。」とググったら、AIがそれなりに回答してくれると思う。

>>685
>実数R上だとΣは補演算で閉じないらしい。
実数に限らず
CΣA=ΠCA
だから
A=CA
であっても閉じるわけない

>>685
>可算和と可算交差の操作を最小の非可算順序数回まで繰り返す必要
ああそうか確かに
ΣΠA=ΠΣA
が間違ってるか
サンクス>>678
>Σが完全加法族であることは自明だと思ってた
は正しくない

Σ0=A(=CA)
Σ1=ΣΠΣ0⊃Σ0
Σ2=ΣΠΣ1⊃Σ1
…
Σω=∪Σn
としたら
それぞれのΣnは可算または補可算集合族だから
Σωも可算または補可算集合族で
超限帰納的に
Σαも可算または補可算集合族となる
Σ=Σω1も可算または補可算集合族で
これが完全加法性を持つのは
ここから可算個の集合を取り出すと
それはどこかのΣα（α<ω1）に含まれるから
（cf(ω1)=ω1>ω0）
ΣΣα=Σα⊂Σ
ΠΣα⊂ΣΠΣα=Σα+1⊂Σ
CΣα⊂ΣCΣα=Σα+1⊂Σ

まあ自明とまでは言えないか
でもホボ自明
サンクス>>685

>>659
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
>ってことで統一できるな
これも
Aがℵ未満部分集合全体として
Σ0=A∪CAはℵ未満または補ℵ未満部分集合族
Σ1=ΣΠΣ0もℵ未満または補ℵ未満部分集合族
…
Σω0=∪Σnもℵ未満または補ℵ未満部分集合族
…
超限帰納的に
Σαはℵ未満または補ℵ未満部分集合族
ℵの順序型をωとして
Σ=Σω
とすればこれはℵ未満または補ℵ未満部分集合族で
ℵ未満加法族
・・・・
ああだめか
cf(ω)=ω
である必要があるから
ℵ=ℵω0
だとダメだな

どんな濃度ℵでもいいわけではないのか
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
共終数が自分自身と一致する
なんてったっけ？
正則基数？に限るわけだな
じゃあ
非正則基数ℵについての
ℵ未満加法族についてはどんなことが言えるだろう？

>>687
それはキミの価値観
その価値観勿体ないと思うよ

可算より大きい濃度の加法族を考えることなんてあるのか。
私は初心者だからよく知らない。

彼の人に何人もの人がダメ出しするのも
数学は戦争だからだよ

>>696
関数解析で出てきたと思ったがどうだったかな

>>697
俺はしてないけどw
あと、政治の見解についても批判がおきている。
正しくは、5chが紛争の場であるということだろう。
あまり数学を悪く言ってほしくはない。

>>698
少し調べてみるわ。

>>699
それはキミが現実の数学をしてないから
数学は針の筵だしそうあるべき

ここで現実の数学をしたら誰もついてこれないと思うよ。
アマチュアの数学は平和なものだろう。
プロは博士後期から終身雇用に至るまで戦争と表現するのなら分かる。
仕事が絡むと戦争になるだろう。

>>694
>非正則基数ℵについての
>ℵ未満加法族についてはどんなことが言えるだろう？
問題ないな
どんな非正則基数ℵについてもそれより大きな正則基数が存在するから
その正則基数の順序型をωとして
Σ=Σω
とすればよい
ここからℵ未満の個数の集合を取り出すと
どこかの
ℵα（α<ω）に含まれるからあとは同じ
てことで
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
はOK

御大はアレだけどねw

>>695
>それはキミの価値観
言うに及ばず

>その価値観勿体ないと思うよ
いや同じ聞くならAIに聞くって話　聞かないとは言ってない

>>703
>無限濃度ℵについて
>ℵ未満か補ℵ未満集合全体はℵ未満加法族
ℵ=ℵ1
のときが元のカキコミ>>646,647
ℵ=ℵ0
のときは有限か補有限集合の全体が有限加法族になるということ
ℵ=ℵ2
のときはR（濃度がℵ1だとする）についてなら
ℵ未満または補ℵ未満の部分集合とは結局任意の部分集合なのでP(A)がℵ2未満加法族だと言っても仕方ないが
関数解析（R^Rでの話）でなら何かしらのことは言えそう

ではΣπAが可算の縛りの上でσ代数になることを証明してください。

Πか

>>707
証明間違えていたのでそれは言えない
正しくは>>691,693,694,703
あと>>662の最後の部分は流用

>>707
自明とのこと
非自明な反例があったけど（爆死）

>>710
>>646は分かってんの？

AIばっかり使ってるけど。

だいたいある集合を含む最小のσ代数がそんな簡単に構成できるなら標準的な教科書で載ってないはずがない。σ代数はそんな簡単に表示できないからいろいろ病的な可測集合が発生する。完全加法族とσ代数の間のこの決定的差異が感じられるようになってなんぼ

>>711
分かってるも何も最初にそれの証明を書いたのは私
ギャップの指摘なら歓迎　但し具体的にね

>>712
何か問題でも？
そこらの似非教員よりよっぽど役立つよ　役立つものを使わないのは〇〇

>>713
>完全加法族とσ代数の間のこの決定的差
差の中身を具体的に

>>714
個人的にはド・モルガンのとこだけ詳しく書いて、あとは自明くらいで良いと感じたw
まあ分かってるのなら良いよ、それ以上は望まない。

プッ
>完全加法族とσ代数の間のこの決定的差異

色んなid出るね。
>>716は私も良く分からない。

Aから初めて たんにいくらでもよい無限和、補集合でとじているなら有限加法族 B をとっておいて Σ[無限]∩[無限]A で完全加法族にできる。しかしσ代数で無限のところが可算無限に制限されるととたんにこれではすまなくなる。一般的にこんなすっきりとはかけない。書きあらわす方法がないという証明はみたことはもちろんないが、具体的にかいてある教科書もみたことない。かけるならかいてる教科書のひとつやふたつあっていいだろうから、ないか、あってもそうとう難しいか、なんだろこれってなっとくいかないような表示かしかないんだろうなとおもってあきらめて表示はできなくても存在証明にきりかえる。
無限に制限があるかないかで全然話がちがう。

>>717
∀n∈N:(an∈Σ ∧ n=0→anはタイプ1集合 ∧ n≠0→anは高々可算集合) とする。
可算和の中に一つのタイプ１集合が含まれるものは ∪{an|n∈N} と書け、これはタイプ2集合ではない。
実際、
(∪{an|n∈N})^c=∩{an^c|n∈N}⊂a0^c。a0^c は定義から高々可算集合。よって (∪{an|n∈N})^c も高々可算集合。よって ∪{an|n∈N} はタイプ2集合でない。
可算和の中のタイプ１集合が二つ以上でも同じ議論が成立するから、結局Σの任意の可算和はタイプ2集合ではない。すなわち「Σは可算和について閉じている」の反例は無い。

君、ドモルガンドモルガン言ってるけど、
>(∪{an|n∈N})^c=∩{an^c|n∈N}
ってだけなんだけど。

尚、タイプ1・２は下記参照。
>高だか可算でない集合は非可算だから、非可算集合の全体は
>タイプ1.補集合が高だか可算である非可算集合
>タイプ2.補集合が非可算である非可算集合
>のふたつのタイプに完全に分類できる。このうちΣの元はタイプ１集合のみ。

f,gが可測関数で f+gが面積確定ならば、f+gは可測関数であるかぁ。
ふーん、そうですか。

>>721
一番書かないといけないことは、可算和集合の中に高々可算でない集合が存在する場合のことだと思った。
それを補集合が共通部分になることに言及して、初めて証明したと私は言うべきだと感じただけ。
飛躍が生じやすいところをケアするのが、私の一番大事にしていること。

>>723
可算集合族から始めて
実際に構成していけば
可算か補可算集合しか出てき様が無いことが分かる
可算集合の可算和は可算
1つでも補可算集合を合併したら補可算
補可算集合の可算積は補可算
1つでも可算集合と積を取ると可算
（あと可算の補集合が補可算その補集合は可算もか）
だからね

>>723
>一番書かないといけないことは、可算和集合の中に高々可算でない集合が存在する場合のことだと思った。
元々書いてるけど

>それを補集合が共通部分になることに言及して、
それは今回書いた

>初めて証明したと私は言うべきだと感じただけ。
そもそも普通人が書く証明って述語論理の推論ステップすべてを書く訳じゃないよね？　てことは何かしらのアウトラインでは？

>>725
まあ、理解してれば良いのよ。

>>662の最後の部分を最初から使うと自明
A:可算部分集合の全体
A∪CA:可算または補可算部分集合の全体
Π(A∪CA):可算または補可算部分集合族すなわち
Π(A∪CA)⊂A∪CA
A∪CA⊂Π(A∪CA)は自明なので
Π(A∪CA)=A∪CA
Σ(A∪CA):可算または補可算部分集合族すなわち
Σ(A∪CA)⊂A∪CA
A∪CA⊂Σ(A∪CA)は自明なので
Σ(A∪CA)=A∪CA
よって
Σ=A∪CA
は完全加法族
ΣΣ=Σ(A∪CA)=A∪CA=Σ
ΠΣ=Π(A∪CA)=A∪CA=Σ
CΣ=CA∪CCA=CA∪A＝Σ

スルーしようかと思ったけど、σ代数と完全加法族の違いって何？

>>724
>その集合自身あるいはその補集合が実数上で高々可算である集合族
が指定されているんだけど、君が構成してるものって何？　↑とはどういう関係にある？

集合環や集合代数が違うのは分かるけど。

お兄さん、分かんないw

>>729
A={B⊂X:|B|<ℵ0}
と
CA={cB:B∈A}
から始めて
可算積
Π(A∪CA)={∩{An:n∈N}:An∈A∪CA}
には可算または補可算集合しか登場しない
ΣΠ(A∪CA)={∪{An:n∈N}:An∈Π(A∪CA)}
にも可算または補可算集合しか登場しない
てこと
あとはω1までΣΠの構成を繰り返して完全加法像を構成するってこと
ついでに書くと>>727に書いたのは最初からAを可算部分集合の全体にしておけばω1まで繰り返して証明する必要が無いホボ自明なことだってこと