大学数学の質問スレ Part 4

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大学数学の質問スレです
大学数学についてわからないところを助け合いましょう

※前スレ
大学数学の質問スレ Part3
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778757466/

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>>131
ただし、畏敬や栄光のロマンスに浸って世界は〇〇なのである！とかと陶酔したいなら
その欲求は満たされないと思うよ
処方箋にはなると思うけど

>>122
ほら大学数学ですよ？
なぜ回答しないんですか？

不等式の使い方に気を付ければ
中学生でも解ける

スレ違い

>>135
解けませんよ

x[k]は正の実数で、
Σ[k=1,n] x[k] = 1
を満たす。
Σ[k=1,n] kx[k] の取りうる値の範囲を求めよ。

あ～ねむたい。

>>134
興味ないから

つまんないから

アクビが出るぜw

>>141
きしょい

別に本気で取らんでも…。

2次方程式の深淵に迫る問題です

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。

既視感あるよ

誤植がありましたので訂正いたします

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、-1≦x≦1における|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。

>>146
三角方程式を使ったら-2≦|cx^2+bx+a|≦2だとすぐに分かる

相手にするな

もうずっと頭の中で何度も唱えてる
魔のダジャレを今ここで言うよ


代数幾何、だいすーきか？

代数幾何の本だとGortz-wedhornが最良

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、-1≦x≦1における|bx^2+cx+a|の取りうる値の範囲も
|bx^2+cx+a|≦2
か？

チェビシェフの不等式は大学範囲と認めてよいですか？

特定条件下で
s+t+st
の取りうる値の範囲を求める「大学範囲の」傑作を追い求めています
どなたか傑作を披露していただけませんか？

>>153
そういうのに興味があるならGortz-wedhorn読むといいと思うよ

1/2≦s≦1
0≦t≦1
0≦s-t≦1/2
のとき、
s+t-st
の取りうる値の範囲を求めよ。

>>155
ああこれ線形計画法で解けますね
大学範囲ではなさそうです

これは難しいです

実数s,tが
0≦s+t-st≦1
を満たしながら動くとき、s-tの取りうる値の範囲を求めよ。

>>157
簡単でした
私ともあろうものが難易度を見誤るとは…

1/2≦s≦1
0≦t≦1
0≦s+t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

>>159
すいません、この問題が解けません
線形計画法でいけますか？

究極の問題を質問します

a≦s≦b
c≦t≦d
e≦s+t-st≦f
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

楽しいすか？

>>162
AIによる検証には疑問が残る点も多いです
貴方がたの力が必要です

大学で友達と
可解群ってよく分かんないね！って言い合うの楽しい

ゼミ入ったら他のみんなからやってること教えてもらう

>>161
途方もない場合分けの嵐をくぐり抜けた、整然とした回答を期待します
さすがのAIも回答を出せませんでした

>>165
板を維持するために出題したいなら
Qualifying Examや院試から出すとかすれば
大学数学という趣旨に沿わせつつ出題になると思うけど
それだとダメなの？

>>164
雑談スレで

>>166
院試は既存の問題の焼き直しが多いです
複素解析の新作などは非常に少ないです

>>168
今まで出したのは既存の問題の焼き直しではないの？

焼き直しではなくて
改変して解があるか分からないまま出題するから
「焼きっぱなし」でしょ

燃え尽きて灰になるまで放置すべし

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

院試だとたとえば
3次正方行列Aの最小多項式がx^2+x+1ならばdetA-trA=1であることを示せ
とか

書いてみて思ったけど
出題には頭使わないから延々とできてしまうのか
板を上げるついでに出題してるんだっていう自意識を盾にしやすいし

考える意欲が湧くね。
初手はまずAIにかけるけどw

ただ、質問スレなんだよね。

スレタイに一歩近づいた。

多分無視しても永遠に出題するよ
コピペするだけで頭使わないから

コピペするにしても
Stackの質問から抜粋する方がまだ形になると思う

Stack exchangeから抜粋するとたとえば
4次多項式が2つの2次多項式の積として表せるための条件は？

出題ではなく質問です
あと、難易度を中学～高校に設定すると解いてくれやすいんですよ
大学範囲はいまいち解いてくれなくて…

答えは
多項式をax^5+bx^4+…として
b^3−4abc+8a^2d=0.

このように、math stack exchangeから興味深い質問と解答を抜粋して貼ればいいのではないか

>>181
訂正
ax^4+bx^3+…

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

院試もqeもstackも拒否する時点で
スレッドを盛り上げるためというのは建前
となると何かしら人に言えない欲求があるか、逆らうことや無視すること自体に価値を感じているか
だとしたら無視し続けるのが有効

ということで、この人のことは無視するのが良い

おk

>>179,181,183
条件が e (定数項) によらない
というのが興味深いですね

>>180
>>172の方が解く気がするけど。

大学以上のレベルの質問をします。

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

>>189
これを解いてください
大学レベル以上ですので

フェルマーの小定理を使えば高校生でも解ける
スレチ

この質問はどのように解決しますか？

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

リーマンは、哲学部数学科出身。
数学は哲学から分離した。
物理学とは別系統だ。

このスレは無法地帯w

自分のキチガイな思考回路すら解決できないやつが
数学の問題を解決できるわけないし
スレ来る意味ないよ

184 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ ffa5-KBIF [2001:240:24aa:b51f:*]) 2026/09/12(土) 12:11:03.37 ID:LWJ3IGEf0
pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。
--

p+5 の最小の素因数を n とおくと
a[n] はつねに n で割り切れる
よって解なし

元ネタは2005年IMO第4問とみられる

一見高校範囲の質問ですが…

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

>>197
高校数学の格言
「logを見たら部分積分」
は通用するのでしょうか？

>>197
大学数学の質問なのになぜ回答しないのですか？

Wolfram Alphaに入力すると
トリガンマ関数 ψ_1(x)=d2/dx2 lnΓ(x)
を使った解が出てくる

課金すれば導出過程を表示できる

>>200
大学範囲の質問であると認めなさい
そうすれば、トリガンマ関数を使わない解法を教えてあげますよ

4次方程式が4つの異なる実数解をもつなら、3次方程式は3つの異なる実数解をもちますか。

？

2つの方程式の間の関係を言わないと

4次方程式 f(x)=0
と、左辺を微分した
3次方程式 f'(x)=0
において、とか

>>204
まあ、そういうことだよね。
何かが足りていないよ。

>>202
高校範囲だろ
質問すんなカス

お前らも高校範囲ノ質問には答えるなよ

大学範囲の積分です。

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

●大学数学の疑問です
Rを実数全体、S1を単位円周とします
写像 p: R→S1; p(x)=(cos 2πx, sin 2πx)
S1の恒等写像 id_S1 : S1→S1　とするとき
連続写像 f:S1→R で p・f=id_S1 を満たすfは存在しない
というのは直感的に説明できるでしょうか？
よろしくお願い致します

直観的にはそらないやろで終わりじゃないの？
経験を積んで直観的に正しそうなものに厳密な証明つけれるかどうかの勝負を経て直観の正しさを養っていくゲーム

拒絶を受けてる人は自分や周りを見ないようにするので、自分の行動をより機能的な方にアップデートしていくことができない。
今やってることと同じ目的を、より少ないコストでより効果的に満たすことができない。
無力感もあるのかもしれない。

>>200
この関数を使っても使わなくても
最後で数値計算が必要になるのは変わらないはず

解を級数で書き下すと
1/2^2-1/5^2+1/8^2-1/11^2+...
となって
この総和は既知の定数の組み合わせでは表せない

仕方がないなあ
大ヒント付き、計算しやすい値の質問に変えてあげよう

留数定理を用いて
∫[0,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

【問題】∫[0→∞] (log x) / (x^3 + 1) dx
【答え】-2π^2 / 27 (≒ -0.7309)
【解法の概要】（ファインマンの積分技巧）パラメータ s を用いて以下の関数を定義する。
I(s) = ∫[0→∞] x^s / (x^3 + 1) dx
s で微分すると被積分関数に log x が現れるため、I'(0) が求める積分となる。
I(s) = π / (3 * sin((s+1)π / 3))
これを s で微分（商の微分公式・合成関数の微分）する。
I'(s) = -(π^2 / 9) * cos((s+1)π/3) / sin^2((s+1)π/3)
s = 0 を代入し、cos(π/3)=1/2, sin(π/3)=√3/2 を適用して整理する。
I'(0) = -(π^2 / 9) * (1/2) / (3/4) = -2π^2 / 27
このコピペ用テキストについて、さらに調整したい部分はありますか？

そうそう
0～∞ならどの方法でもうまくいく

って生成AIだったか

α、β、γがそれぞれ相異なる複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

>>216
こんな簡単な質問にさえ答えられないのですか？

関数空間って関数の性質を集めた者なんだよね
写像空間とかもそのうち出てくるかな

性質を集めたものではないよ
関数を集め（て同値類で割っ）たものだ

>>219
まじか
勘違いしてた…
フーリエ変換とか習うときにL^p空間使うから
勘違いする前に聞いておいてよかった…

α、β、γがそれぞれ相異なり、かつ実数でない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

α、β、γはそれぞれ相異なり、かつ実数でも純虚数でもない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

^ ^
ε ε
δ

最近多様体習ったから
ベクトル場が接ベクトルと点との対応だって知ることができたんだけど
これって関数とか他のやつでも対応させられるんだよね？

1/3≦s≦1/2
0≦t≦1
0≦s+2t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
の0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

>>226
見た目は高校範囲ですが…

直積σ-加法族って多変量だと結構使うんだよね？
ルベーグ積分入門でサラッと出てきたから今証明見てるんだけど
(X,Bx)可測空間
f(x,y) x∈X,y∈R^N
x固定→fは連続
y固定→fはBx可測
ならばfはBz可測

って覚えた方が良い？

少なくとも入門段階では可測性は積分するための前提条件でしかないよね
フビニの定理なんて覚える必要ないというか重積分の計算を思い返せば自然に主張も思い出せるかと

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）この方程式の複素数解をすべて決定せよ。

三角形ABCに対し、点(sinA, sinB, sinC)をとります。
三角形ABCがいろいろ変わるとき、この点が動きうる領域はどのような図形になりますか？
またその領域の体積は求められましょうか？