大学数学の質問スレ Part 4

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大学数学の質問スレです
大学数学についてわからないところを助け合いましょう

※前スレ
大学数学の質問スレ Part3
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778757466/

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>>165
板を維持するために出題したいなら
Qualifying Examや院試から出すとかすれば
大学数学という趣旨に沿わせつつ出題になると思うけど
それだとダメなの？

>>164
雑談スレで

>>166
院試は既存の問題の焼き直しが多いです
複素解析の新作などは非常に少ないです

>>168
今まで出したのは既存の問題の焼き直しではないの？

焼き直しではなくて
改変して解があるか分からないまま出題するから
「焼きっぱなし」でしょ

燃え尽きて灰になるまで放置すべし

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

院試だとたとえば
3次正方行列Aの最小多項式がx^2+x+1ならばdetA-trA=1であることを示せ
とか

書いてみて思ったけど
出題には頭使わないから延々とできてしまうのか
板を上げるついでに出題してるんだっていう自意識を盾にしやすいし

考える意欲が湧くね。
初手はまずAIにかけるけどw

ただ、質問スレなんだよね。

スレタイに一歩近づいた。

多分無視しても永遠に出題するよ
コピペするだけで頭使わないから

コピペするにしても
Stackの質問から抜粋する方がまだ形になると思う

Stack exchangeから抜粋するとたとえば
4次多項式が2つの2次多項式の積として表せるための条件は？

出題ではなく質問です
あと、難易度を中学～高校に設定すると解いてくれやすいんですよ
大学範囲はいまいち解いてくれなくて…

答えは
多項式をax^5+bx^4+…として
b^3−4abc+8a^2d=0.

このように、math stack exchangeから興味深い質問と解答を抜粋して貼ればいいのではないか

>>181
訂正
ax^4+bx^3+…

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

院試もqeもstackも拒否する時点で
スレッドを盛り上げるためというのは建前
となると何かしら人に言えない欲求があるか、逆らうことや無視すること自体に価値を感じているか
だとしたら無視し続けるのが有効

ということで、この人のことは無視するのが良い

おk

>>179,181,183
条件が e (定数項) によらない
というのが興味深いですね

>>180
>>172の方が解く気がするけど。

大学以上のレベルの質問をします。

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

>>189
これを解いてください
大学レベル以上ですので

フェルマーの小定理を使えば高校生でも解ける
スレチ

この質問はどのように解決しますか？

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

リーマンは、哲学部数学科出身。
数学は哲学から分離した。
物理学とは別系統だ。

このスレは無法地帯w

自分のキチガイな思考回路すら解決できないやつが
数学の問題を解決できるわけないし
スレ来る意味ないよ

184 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ ffa5-KBIF [2001:240:24aa:b51f:*]) 2026/09/12(土) 12:11:03.37 ID:LWJ3IGEf0
pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。
--

p+5 の最小の素因数を n とおくと
a[n] はつねに n で割り切れる
よって解なし

元ネタは2005年IMO第4問とみられる

一見高校範囲の質問ですが…

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

>>197
高校数学の格言
「logを見たら部分積分」
は通用するのでしょうか？

>>197
大学数学の質問なのになぜ回答しないのですか？

Wolfram Alphaに入力すると
トリガンマ関数 ψ_1(x)=d2/dx2 lnΓ(x)
を使った解が出てくる

課金すれば導出過程を表示できる

>>200
大学範囲の質問であると認めなさい
そうすれば、トリガンマ関数を使わない解法を教えてあげますよ

4次方程式が4つの異なる実数解をもつなら、3次方程式は3つの異なる実数解をもちますか。

？

2つの方程式の間の関係を言わないと

4次方程式 f(x)=0
と、左辺を微分した
3次方程式 f'(x)=0
において、とか

>>204
まあ、そういうことだよね。
何かが足りていないよ。

>>202
高校範囲だろ
質問すんなカス

お前らも高校範囲ノ質問には答えるなよ

大学範囲の積分です。

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

●大学数学の疑問です
Rを実数全体、S1を単位円周とします
写像 p: R→S1; p(x)=(cos 2πx, sin 2πx)
S1の恒等写像 id_S1 : S1→S1　とするとき
連続写像 f:S1→R で p・f=id_S1 を満たすfは存在しない
というのは直感的に説明できるでしょうか？
よろしくお願い致します

直観的にはそらないやろで終わりじゃないの？
経験を積んで直観的に正しそうなものに厳密な証明つけれるかどうかの勝負を経て直観の正しさを養っていくゲーム

拒絶を受けてる人は自分や周りを見ないようにするので、自分の行動をより機能的な方にアップデートしていくことができない。
今やってることと同じ目的を、より少ないコストでより効果的に満たすことができない。
無力感もあるのかもしれない。

>>200
この関数を使っても使わなくても
最後で数値計算が必要になるのは変わらないはず

解を級数で書き下すと
1/2^2-1/5^2+1/8^2-1/11^2+...
となって
この総和は既知の定数の組み合わせでは表せない

仕方がないなあ
大ヒント付き、計算しやすい値の質問に変えてあげよう

留数定理を用いて
∫[0,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

【問題】∫[0→∞] (log x) / (x^3 + 1) dx
【答え】-2π^2 / 27 (≒ -0.7309)
【解法の概要】（ファインマンの積分技巧）パラメータ s を用いて以下の関数を定義する。
I(s) = ∫[0→∞] x^s / (x^3 + 1) dx
s で微分すると被積分関数に log x が現れるため、I'(0) が求める積分となる。
I(s) = π / (3 * sin((s+1)π / 3))
これを s で微分（商の微分公式・合成関数の微分）する。
I'(s) = -(π^2 / 9) * cos((s+1)π/3) / sin^2((s+1)π/3)
s = 0 を代入し、cos(π/3)=1/2, sin(π/3)=√3/2 を適用して整理する。
I'(0) = -(π^2 / 9) * (1/2) / (3/4) = -2π^2 / 27
このコピペ用テキストについて、さらに調整したい部分はありますか？

そうそう
0～∞ならどの方法でもうまくいく

って生成AIだったか

α、β、γがそれぞれ相異なる複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

>>216
こんな簡単な質問にさえ答えられないのですか？

関数空間って関数の性質を集めた者なんだよね
写像空間とかもそのうち出てくるかな

性質を集めたものではないよ
関数を集め（て同値類で割っ）たものだ

>>219
まじか
勘違いしてた…
フーリエ変換とか習うときにL^p空間使うから
勘違いする前に聞いておいてよかった…

α、β、γがそれぞれ相異なり、かつ実数でない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

α、β、γはそれぞれ相異なり、かつ実数でも純虚数でもない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

^ ^
ε ε
δ

最近多様体習ったから
ベクトル場が接ベクトルと点との対応だって知ることができたんだけど
これって関数とか他のやつでも対応させられるんだよね？

1/3≦s≦1/2
0≦t≦1
0≦s+2t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
の0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

>>226
見た目は高校範囲ですが…

直積σ-加法族って多変量だと結構使うんだよね？
ルベーグ積分入門でサラッと出てきたから今証明見てるんだけど
(X,Bx)可測空間
f(x,y) x∈X,y∈R^N
x固定→fは連続
y固定→fはBx可測
ならばfはBz可測

って覚えた方が良い？

少なくとも入門段階では可測性は積分するための前提条件でしかないよね
フビニの定理なんて覚える必要ないというか重積分の計算を思い返せば自然に主張も思い出せるかと

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）この方程式の複素数解をすべて決定せよ。

三角形ABCに対し、点(sinA, sinB, sinC)をとります。
三角形ABCがいろいろ変わるとき、この点が動きうる領域はどのような図形になりますか？
またその領域の体積は求められましょうか？

3次元空間内の曲面
x+y+z=k
の体積は0.

曲面が球面のように閉じるのが前提なら
その中身は
曲面の内部の体積
曲面で囲まれた領域の体積
などと表現する.

sagemath
なかなか美しい
https://sagecell.sagemath.org/?q=zhdwny

ちなみに体積π/12だって by Gemini

Googleに
三角形の3つの角の正弦を3次元座標とする点からなる曲面の内部の体積
と入力したら
π/8
だった

立体を上から見た曲面
z=sin(arcsin(x)+arcsin(y))
の
x=0～1, y=0～1の定積分は(1/4)π…(1)
x=0～1, y=0～√(1-x^2)の定積分は(3/16)π…(2)
求める体積は(1)-2((1/4)π-(2))=π/8
だからこちらが正解っぽい

ほんと？geminiの計算あってるぽいけど？
0~sin(arcsin(x) + arcsin(y))全体はしらないんでは？

ちなみにgemini君は 1/3|OP|OP→·n→dS をパラメータ表示 (sin(x),sin(y),sin(π-x-y))で面積分してだしてた。

いや、geminiに聞いたらπ/8のほうが正しいって

テキストのみの文章で１０行くらいにまとめてください。間違った理由はいりません。正しい方針と計算過程をつまんで１０行くらいで
・ガウスの体積公式 1/3 ∬ r・(r_a × r_b) dadb を適用して閉じた曲面として積分する。
・正三角形のパラメータ領域を、鋭角領域1つと鈍角領域3つ（a, b, cが各々π/2を超える部分）に分割する。
・曲面の法線ベクトル（外積）の向きが、鋭角領域では「外向き」、鈍角領域では「内向き」になる。
・そのため、ガウスの定理の条件である「すべて外向き」に揃えるよう、鈍角領域の積分符号を反転させる。
・各領域での共通の被積分関数（スカラー三重積の展開式）は 3 sin a sin b sin c となる。・鋭角領域を積分範囲（0≦a≦π/2, 0≦b≦π/2 など）に沿って累次積分すると、結果は 5/32 π となる。
・1つの鈍角領域の積分結果は -1/32 π となり、外向きへの符号反転（マイナスを掛ける補正）で +1/32 π となる。
・合計の体積は、（鋭角領域の積分値）－ 3 ×（内向きのままの鈍角領域の積分値）として集計される。
・具体式： V = 5/32 π - 3 × (-1/32 π) = 5/32 π + 3/32 π = 8/32 π
・これにより、直交座標での二重積分結果とも完全に一致する、唯一絶対の正解である「π/8」が導出される。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）複素数解をすべて決定せよ。

一辺の長さがaである正三角形ABCを、辺ABの周りに一回転させてできる立体をV1、辺BCの周りに一回転させてできる立体をV2、辺CAの周りに一回転させてできる立体をV3とする。
V1とV2とV3の共通部分の体積をaで表せ。

nを正整数の定数とする。
tanx=nとなる実数x_n(0<x_n<π/2)を考える。
極限lim[n→∞] (x_n - π/2)*n^rが0でない実数に収束するような実数rを求めよ。

一問解いてしまうと
こうして荒らしの投稿が加速してしまうので
できれば触れないでほしいのである

荒らしじゃないよ
質問だよ
特に正三角形の回転体の共通部分についての質問は傑作だから解いてみてよ

>>224
それを束の切断という

層の方がいいか

そうですね

そうかなぁ

腑に落ちない点があれば、掘り下げても良いんでない？

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）複素数解は実数解に限られることを証明せよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

>>252
AIにより解答が分かれております
皆様のご賢察に期待しております

>>248-249
気色悪い

深堀りすれば良いのに。

>>255
へぇ

そういう板なんじゃないの。

知らなかった〜

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

今日は静かだな

>>259
これ大学範囲の質問なのになぜお答えいただけないのですか？

範囲は置いといて、おもんないからじゃないのw

イヤ、くだらんからじゃね？

ふと思ったんだけど
体の拡大って
x²-2=0の解が無理数で
±√2を解の集合に追加する

って解釈してるんだけど
合ってる？

>>264
ガロア理論のスレに書いてあることを正しく言い換えられていない。