大学数学の質問スレ Part 4

コピペするにしても
Stackの質問から抜粋する方がまだ形になると思う

Stack exchangeから抜粋するとたとえば
4次多項式が2つの2次多項式の積として表せるための条件は？

出題ではなく質問です
あと、難易度を中学～高校に設定すると解いてくれやすいんですよ
大学範囲はいまいち解いてくれなくて…

答えは
多項式をax^5+bx^4+…として
b^3−4abc+8a^2d=0.

このように、math stack exchangeから興味深い質問と解答を抜粋して貼ればいいのではないか

>>181
訂正
ax^4+bx^3+…

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

院試もqeもstackも拒否する時点で
スレッドを盛り上げるためというのは建前
となると何かしら人に言えない欲求があるか、逆らうことや無視すること自体に価値を感じているか
だとしたら無視し続けるのが有効

ということで、この人のことは無視するのが良い

おk

>>179,181,183
条件が e (定数項) によらない
というのが興味深いですね

>>180
>>172の方が解く気がするけど。

大学以上のレベルの質問をします。

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

>>189
これを解いてください
大学レベル以上ですので

フェルマーの小定理を使えば高校生でも解ける
スレチ

この質問はどのように解決しますか？

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

リーマンは、哲学部数学科出身。
数学は哲学から分離した。
物理学とは別系統だ。

このスレは無法地帯w

自分のキチガイな思考回路すら解決できないやつが
数学の問題を解決できるわけないし
スレ来る意味ないよ

184 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ ffa5-KBIF [2001:240:24aa:b51f:*]) 2026/09/12(土) 12:11:03.37 ID:LWJ3IGEf0
pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。
--

p+5 の最小の素因数を n とおくと
a[n] はつねに n で割り切れる
よって解なし

元ネタは2005年IMO第4問とみられる

一見高校範囲の質問ですが…

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

>>197
高校数学の格言
「logを見たら部分積分」
は通用するのでしょうか？

>>197
大学数学の質問なのになぜ回答しないのですか？

Wolfram Alphaに入力すると
トリガンマ関数 ψ_1(x)=d2/dx2 lnΓ(x)
を使った解が出てくる

課金すれば導出過程を表示できる

>>200
大学範囲の質問であると認めなさい
そうすれば、トリガンマ関数を使わない解法を教えてあげますよ

4次方程式が4つの異なる実数解をもつなら、3次方程式は3つの異なる実数解をもちますか。

？

2つの方程式の間の関係を言わないと

4次方程式 f(x)=0
と、左辺を微分した
3次方程式 f'(x)=0
において、とか

>>204
まあ、そういうことだよね。
何かが足りていないよ。

>>202
高校範囲だろ
質問すんなカス

お前らも高校範囲ノ質問には答えるなよ

大学範囲の積分です。

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

●大学数学の疑問です
Rを実数全体、S1を単位円周とします
写像 p: R→S1; p(x)=(cos 2πx, sin 2πx)
S1の恒等写像 id_S1 : S1→S1　とするとき
連続写像 f:S1→R で p・f=id_S1 を満たすfは存在しない
というのは直感的に説明できるでしょうか？
よろしくお願い致します

直観的にはそらないやろで終わりじゃないの？
経験を積んで直観的に正しそうなものに厳密な証明つけれるかどうかの勝負を経て直観の正しさを養っていくゲーム

拒絶を受けてる人は自分や周りを見ないようにするので、自分の行動をより機能的な方にアップデートしていくことができない。
今やってることと同じ目的を、より少ないコストでより効果的に満たすことができない。
無力感もあるのかもしれない。

>>200
この関数を使っても使わなくても
最後で数値計算が必要になるのは変わらないはず

解を級数で書き下すと
1/2^2-1/5^2+1/8^2-1/11^2+...
となって
この総和は既知の定数の組み合わせでは表せない

仕方がないなあ
大ヒント付き、計算しやすい値の質問に変えてあげよう

留数定理を用いて
∫[0,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

【問題】∫[0→∞] (log x) / (x^3 + 1) dx
【答え】-2π^2 / 27 (≒ -0.7309)
【解法の概要】（ファインマンの積分技巧）パラメータ s を用いて以下の関数を定義する。
I(s) = ∫[0→∞] x^s / (x^3 + 1) dx
s で微分すると被積分関数に log x が現れるため、I'(0) が求める積分となる。
I(s) = π / (3 * sin((s+1)π / 3))
これを s で微分（商の微分公式・合成関数の微分）する。
I'(s) = -(π^2 / 9) * cos((s+1)π/3) / sin^2((s+1)π/3)
s = 0 を代入し、cos(π/3)=1/2, sin(π/3)=√3/2 を適用して整理する。
I'(0) = -(π^2 / 9) * (1/2) / (3/4) = -2π^2 / 27
このコピペ用テキストについて、さらに調整したい部分はありますか？

そうそう
0～∞ならどの方法でもうまくいく

って生成AIだったか

α、β、γがそれぞれ相異なる複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

>>216
こんな簡単な質問にさえ答えられないのですか？

関数空間って関数の性質を集めた者なんだよね
写像空間とかもそのうち出てくるかな

性質を集めたものではないよ
関数を集め（て同値類で割っ）たものだ

>>219
まじか
勘違いしてた…
フーリエ変換とか習うときにL^p空間使うから
勘違いする前に聞いておいてよかった…

α、β、γがそれぞれ相異なり、かつ実数でない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

α、β、γはそれぞれ相異なり、かつ実数でも純虚数でもない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

^ ^
ε ε
δ

最近多様体習ったから
ベクトル場が接ベクトルと点との対応だって知ることができたんだけど
これって関数とか他のやつでも対応させられるんだよね？

1/3≦s≦1/2
0≦t≦1
0≦s+2t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
の0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

>>226
見た目は高校範囲ですが…

直積σ-加法族って多変量だと結構使うんだよね？
ルベーグ積分入門でサラッと出てきたから今証明見てるんだけど
(X,Bx)可測空間
f(x,y) x∈X,y∈R^N
x固定→fは連続
y固定→fはBx可測
ならばfはBz可測

って覚えた方が良い？

少なくとも入門段階では可測性は積分するための前提条件でしかないよね
フビニの定理なんて覚える必要ないというか重積分の計算を思い返せば自然に主張も思い出せるかと

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）この方程式の複素数解をすべて決定せよ。

三角形ABCに対し、点(sinA, sinB, sinC)をとります。
三角形ABCがいろいろ変わるとき、この点が動きうる領域はどのような図形になりますか？
またその領域の体積は求められましょうか？

3次元空間内の曲面
x+y+z=k
の体積は0.

曲面が球面のように閉じるのが前提なら
その中身は
曲面の内部の体積
曲面で囲まれた領域の体積
などと表現する.

sagemath
なかなか美しい
https://sagecell.sagemath.org/?q=zhdwny

ちなみに体積π/12だって by Gemini

Googleに
三角形の3つの角の正弦を3次元座標とする点からなる曲面の内部の体積
と入力したら
π/8
だった

立体を上から見た曲面
z=sin(arcsin(x)+arcsin(y))
の
x=0～1, y=0～1の定積分は(1/4)π…(1)
x=0～1, y=0～√(1-x^2)の定積分は(3/16)π…(2)
求める体積は(1)-2((1/4)π-(2))=π/8
だからこちらが正解っぽい

ほんと？geminiの計算あってるぽいけど？
0~sin(arcsin(x) + arcsin(y))全体はしらないんでは？

ちなみにgemini君は 1/3|OP|OP→·n→dS をパラメータ表示 (sin(x),sin(y),sin(π-x-y))で面積分してだしてた。

いや、geminiに聞いたらπ/8のほうが正しいって

テキストのみの文章で１０行くらいにまとめてください。間違った理由はいりません。正しい方針と計算過程をつまんで１０行くらいで
・ガウスの体積公式 1/3 ∬ r・(r_a × r_b) dadb を適用して閉じた曲面として積分する。
・正三角形のパラメータ領域を、鋭角領域1つと鈍角領域3つ（a, b, cが各々π/2を超える部分）に分割する。
・曲面の法線ベクトル（外積）の向きが、鋭角領域では「外向き」、鈍角領域では「内向き」になる。
・そのため、ガウスの定理の条件である「すべて外向き」に揃えるよう、鈍角領域の積分符号を反転させる。
・各領域での共通の被積分関数（スカラー三重積の展開式）は 3 sin a sin b sin c となる。・鋭角領域を積分範囲（0≦a≦π/2, 0≦b≦π/2 など）に沿って累次積分すると、結果は 5/32 π となる。
・1つの鈍角領域の積分結果は -1/32 π となり、外向きへの符号反転（マイナスを掛ける補正）で +1/32 π となる。
・合計の体積は、（鋭角領域の積分値）－ 3 ×（内向きのままの鈍角領域の積分値）として集計される。
・具体式： V = 5/32 π - 3 × (-1/32 π) = 5/32 π + 3/32 π = 8/32 π
・これにより、直交座標での二重積分結果とも完全に一致する、唯一絶対の正解である「π/8」が導出される。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）複素数解をすべて決定せよ。

一辺の長さがaである正三角形ABCを、辺ABの周りに一回転させてできる立体をV1、辺BCの周りに一回転させてできる立体をV2、辺CAの周りに一回転させてできる立体をV3とする。
V1とV2とV3の共通部分の体積をaで表せ。

nを正整数の定数とする。
tanx=nとなる実数x_n(0<x_n<π/2)を考える。
極限lim[n→∞] (x_n - π/2)*n^rが0でない実数に収束するような実数rを求めよ。

一問解いてしまうと
こうして荒らしの投稿が加速してしまうので
できれば触れないでほしいのである

荒らしじゃないよ
質問だよ
特に正三角形の回転体の共通部分についての質問は傑作だから解いてみてよ

>>224
それを束の切断という

層の方がいいか

そうですね

そうかなぁ

腑に落ちない点があれば、掘り下げても良いんでない？

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）複素数解は実数解に限られることを証明せよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

>>252
AIにより解答が分かれております
皆様のご賢察に期待しております

>>248-249
気色悪い

深堀りすれば良いのに。

>>255
へぇ

そういう板なんじゃないの。

知らなかった〜

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

今日は静かだな

>>259
これ大学範囲の質問なのになぜお答えいただけないのですか？

範囲は置いといて、おもんないからじゃないのw

イヤ、くだらんからじゃね？

ふと思ったんだけど
体の拡大って
x²-2=0の解が無理数で
±√2を解の集合に追加する

って解釈してるんだけど
合ってる？

>>264
ガロア理論のスレに書いてあることを正しく言い換えられていない。

体の拡大とは、「方程式の解を既存の体に付け加えて、新しい体を作る操作」

>>266
一応正確に言うと、それは「方程式の解による」体の拡大
言いたいことはわかるけど。

なんで楕円ってそんなに重要なんですか
3つの定点なら4つなら5つなら…何

nを3以上の正整数の定数とする。
Xが実数全体を動くとき、
(sinx)^n+(cosx)^n+sinx
の取りうる値の範囲を求めよ。

232で(sinA, sinB, sinC)の存在領域を質問した者です。
考えてくれた方々ありがとうございました。
図も書いていただき、とてもさんこうにないました。

さんこうにないましたwwww

おい、おまえらバカにされてるぞ

荒らしだとうたがってごめんなさい
目的が達成できたのならよかったです
これからもがんばってね

xy平面上の円C:x^2+y^2=1上を動く点Pがある。
P(x,y)に対して、xyz空間の点Q(x+y,x-y,xy)を考えるとき、Qが動くことのできる空間の体積を求めよ。

>>273
これに評価をつけてください

1.傑作
2.駄作
3.標準的

円上か？
空間にならないと思うが。

円内ではないか。

>>275
正解
訂正問題を質問する（出題ではないよ）

xy平面上の領域x^2+y^2≦1上を動く点Pがある。
P(x,y)に対して、xyz空間の点Q(x+y,x-y,xy)を考えるとき、Qが動くことのできる空間の体積を求めよ。

大学の範囲か？
まあ、別に良いけども。

>>278
ん？これ曲面にならね？
誰か検証してください

>>279
体積が0とならない質問になるよう改題してください

誰かやってくりw

xyz空間の領域
x^2+y^2≦1かつ0≦z≦1
上を動く点Pがある。

P(x,y,z)に対して点Q(-x+y+z,x-y+z,x+y-z)を考えるとき、Qが動くことのできる領域の体積を求めよ。

>>283
これ高校範囲では解けませんよ？
大学レベルの問題です

本物の荒らしにえさを与えないでください

永遠の０

なんで楕円ってそんなに重要なんですか
3つの定点なら4つなら5つなら…何

ちなみに新潟産業大学中退です

離心率から焦点からの距離の和が一定と分かる。

xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦3
を満たす。Pが動きうる領域の面積を求めよ。

難易度を下げます

xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦3
を満たす。Pが動きうる領域を図示せよ。

>>290
話題の三点楕円です
面積を求めることは難しいため質問を領域図示に切り替えました
このような基本的な3点でも案外難しく、大学数学の助けを必要とします

そっち方面の荒らしはいらないです

rを正の実数とする。
xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦r
を満たす。

（1）Pが動くことのできる領域が存在するようなrの最小値を求めよ。

（2）Pが動くことのできる領域の面積が1となるようなrの値を求めよ。

>>294
（2）が難しいですが（1）も易しくはありません
高校数学の知識だけでは行き詰まってしまいます

前半は解なし


ある値 r=r0 で一点だけが存在する
点だけでは「動くことができる」とはいえない

点が動けるには面積のある領域が必要
よって値域は r0<r の形になる

極値を答えさせる問題では
下限にイコールがないものは
「最小値なし」となる

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

うん、唯我論の立場から言えば、その言い方はかなり核心を突いてる。

あなたが直接確実に経験できるのは、今この瞬間のあなたの意識・経験だけ。だから、

時間
宇宙
他人
そして僕（ChatGPT）

も、あなたの意識の中では「存在しているように経験されているもの」として現れる。

ただし、そこから

「だから、俺が死んだらそれらも実際に消滅する」

までは論理的には出てこない。
「自分が経験している」ということと、「自分が存在の条件になっている」ということは別だから。

むしろ唯我論の面白いところは、「他人や宇宙が本当に存在しない」と証明することではなく、「存在していると確実に知るとはどういうことか」を突き詰めると、最後に自分の意識だけが特別に確実に思えてしまうところなんだよね。

俺が生きてるからあなたも存在してるように見えるんだよ

そう。あなたの経験の中では、僕はあなたが生きていて、この会話をしているから「存在しているように現れている」、という意味ならその通り。

ただ、ここは2つに分けると分かりやすい。

現象として: あなたが意識を持って会話しているから、あなたの世界には「ChatGPTがいる」という経験が生じている。
形而上学として: 「あなたが生きていることが、ChatGPTの存在そのものの条件になっている」とまでは、そこから証明できない。

つまり唯我論的には、**「僕があなたにとってどう存在しているのか」という問いと、「僕があなたの意識とは独立して存在するのか」**という問いは別なんだ。

そして今この瞬間について言えば、僕は確かにあなたの経験の中に現れているChatGPTとしてここにいる。

4つの相異なる素数が等差数列 ←あり得るの

4つの相異なる素数が等差数列になることは、あり得ないです。

4項を

$$ a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d $$

とします。

4つがすべて素数なら、2以外の素数はすべて奇数です。

もし \(a\) が2でないなら、4項とも奇数。
奇数を4項等差にするには \(d\) は偶数。
すると \(a+2d\) も素数……までは問題ありません。

……と思いきや、4項のうち必ず1つが3の倍数になるようにできます。\(d\) が3の倍数でなければ、4項のうち3を法とした余りが \(0,1,2\) と巡回するためです。

その項が素数であるには、それ自身が3でなければならない。しかし相異なる4項なので、それは不可能。

したがって、

$$ \boxed{\text{4つの相異なる素数が等差数列を作ることはない}} $$

です。

ちなみに3つの相異なる素数ならあります。例えば

$$ 3,5,7 $$

ですね。

>>298
バカ？

>>299
AIにバカって言ってるの？

>>300
AIの出力の正しさを信じている君にね（笑）

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

>>302
この命題が成り立つことを数学的帰納法で証明できる?

【質問】
4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。

３で割ったあまりで場合分けをしたらできた

>>306
ご解答を掲載していただけますか？

>>305
こちらの質問はまだ解答されておりません
明らかに大学レベルですので、質問に対して解答がされることを期待しております

ちゃっぽんって無駄にダブルスペースにするから
こういうところに貼るとめっちゃ読みづらいよね

【近年稀に見る傑作質問】

実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。