大学数学の質問スレ Part 4

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを示せ。

AB=1,AC=1,BC=aである△ABCの垂心をP、直線BCに関してPと対称な点をQとする。このとき、
AP+BP+CP+1=AQ+BQ+CQ
となった。
aの値を求めよ。

ベクトル解析の rot(curl) の解釈をストークスの定理を使って説明している本がありましたが、しっくりきませんでした。
しっくりくる説明をしてください。

>>35
AIに聞けよバカ低脳

このスレの意味

>>35
一般的に、そういうときは具体例を作ってみるといいよ
たとえば今回だと、渦巻き状のベクトル場を適当に作ってrotを具体計算してみるとか

>>35
一応、無限小についてもっと納得いく説明はあとあとリー群使ってできる

>>36
何がきっかけでそんな必死になっちゃったの

何と戦っているのやらw

補足しておくと、具体例だからって完全に具体的である必要はなくて
むしろ必要なら抽象度を多少持たせた方が見通しが良くなる
高校の範囲でも、解と係数の関係はx^2+bx+c、(x-A)(x-B)とかって係数を変数のまま考えた方が簡単だ
今回のことにしても、渦状のベクトル場を完全に一つに絞ることはなく、回転の強さを表すパラメータを残しておくと見通しがいいかもしれない
そういうことを考えながら抽象度の梯子を登ったり降りたりして納得していくのは、数学科でよく推奨される戦略

ローテーション

元も子もないことを言うと、rotが回転を表すって話は数学的にはあまり大きいものではない
重要でないわけではないけど、別にそこまで存在感の濃い話ではない
どちらかというと物理、とくに流体力学に必要な話だと思う

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを示せ。

E/Fが代数拡大のとき、Eの代数閉包はFの代数閉包でもあるというのはあｒきらかですか。

明らかかどうかを聞く時点で(あなたにとっては)明らかではないです

Eの代数閉包をΩとするとΩ/E,E/Fは代数拡大なのでΩ/Fも代数拡大
Ωは代数閉体なのでΩはFの代数閉包

AB=1,AC=1,BC=aである△ABCの垂心をP、直線BCに関してPと対称な点をQとする。このとき、
AP+BP+CP+1=AQ+BQ+CQ
となった。
aの値を求めよ。

>>48
この問題が名作である理由を説明します
本来なら解けない四次方程式を解かねばならぬところ、設定の妙で解ける方程式が出てくるのです

m,nは正の整数の定数とする。
xが正の実数を変化するとき、
x^m+(1/x^n)
の最小値を相加平均・相乗平均の不等式を用いて求めよ。

ネクラソフ分配関数を固定点局所化でぶん回して
特殊関数の一般論を学部の物理数学でのイントロダクションする。

>>50
微分しなければ解けないと思ってしまう人は、不等式の妙味を解っておりません

尊厳だけはどんな支援制度も保証できない
惨めさに気づかないよう洗脳してあげることはできるが

f(a)=∫[0,∞] e^(-(a^2)x)*sin(x) dx
とする。
f(a)を求めよ。

数学の一分野を表す「代数」と、
「k代数」とか1つのオブジェの名称にも同じ「代数」という言葉使うのって
なんかセンス悪くないですか。みなしゃん違和感ないんでしょうか。

>>55
名前から推測しないといけないほど難しい概念じゃないから何とも感じない

全く別の分野でも
邦訳で似た言葉になったりする

N進法（base N）と
p進数（p-adic）とか

そういうのに出会うたびに不安になるけど、使ってるうちに覚えるから大丈夫

y=x^4-x
の最小値を相加平均・相乗平均の不等式を用いて求めることはできるか。
できるならばそのようにして求め、できないならばそのことを証明せよ。

>>59
相加平均・相乗平均の限界を示唆する質問です
これに答えられる方は案外少ないだろうとよそうします

誰も答えないだろうと予想します。

スキームの定義のうち層の部分は何を表しているのか教えて

y=x^4-x
の最小値を、相加平均・相乗平均の不等式を用いて求めたい。

（1）yはx>0で最小値をとることを示せ。

（2）相加平均・相乗平均の不等式を用いて、yの最小値を求めよ。

数列{a_n},{b_n}に対し a_n-b_n→0(n→∞)のとき{a_n}〜{b_n}と定めることにしたら
〜は同値関係ですか？

>>63
相加平均・相乗平均の不等式が微分の代わりになるか？という問いです

本質的には
微分
と
相加平均・相乗平均の不等式
は
同じであるという認識に立っております

さすがにそんな訳はないと思う。

f(x)=x+(1/x)+(1/(x+1))
の最小値を求める問題は、相加平均・相乗平均の不等式では解けないと、chatgptは言っています。
皆様方エキスパートのご意見はいかがですか？

世の中の「最大・最小問題」を「相加平均・相乗平均の不等式で解決できる問題」と「解決できない問題」に分類します

これは数学の大仕事です

ルジャンドル型の狭義凸関数の勾配を用いて平均操作E[]の共役（のようなもの）をとると、相加平均、相乗平均、調和平均をすべて包括したものになる

それらの平均の重み付きのものとかも含めた一般論

情報幾何学などで使える

名前は一応weighted multivariate quasi-arithmetic meanとかとなっている

もう少しだけ簡単な概念としては一般化f平均とかヘルダー平均というものがある
一般性は下がるが簡単

チェザロ平均の極限とか不等式とかの話がどのレベルで成り立つか考えてみると面白いかもしれない

>>66
中間値の定理の系になりそうな発想だとは思う。

>>61
wwww

大予言w

なんなりと質問せよ

>>79
なんで変な質問が減らないの？

私の質問がなければこのスレはこの程度の勢いなのですね
情けないです

別に高校数学のスレを伸ばせば良いじゃないw

x>0とする。
x^xの最小値を、相加平均・相乗平均の不等式を用い、微分法を用いず、求めることは可能か。

自分で考えろ

【質問】
以下の問いに答えよ。

（1）lim[x→0] {1+(1/x)}^x を求めよ。

（2）xy平面上の曲線C:y={1+(1/x)}^xの概形を描け。

（3）0≦x≦eにおける曲線Cの長さをLとする。[L]を求めよ。

>>85
（3）が大学範囲です。
（1）（2）はヒントとしてお使いください。

知的パズルとして一級品です

【質問】
4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部の点を通り傾きが正の直線でこの正方形を2つの領域に分けるとき
点(1,0)と点(0,1)は異なる領域に分けられる。

ということを示すにはどうのようにすればよいでしょうか。

>>88
・(1,0)の上に傾き正の直線がある
⇒直線は正方形を通らない
・(0,1)の下に傾き正の直線がある
⇒直線は正方形を通らない
を示して
各々の対偶を合わせればよい

xの方程式
(x-1)(x^2-2x-1)+a=0
が整数解を持つような整数aをすべて求めよ。

ミトラ見てるんだけどコイツウザい
声がクソ

それより大学数学か

>>92
大学数学の話題なんて出ないじゃないですか笑
だから私が話題を提供しているというのに

xの方程式
(x-1)(x^2-2x-1)+a=0
が重解を含めて3つの整数解を持つような整数aをすべて求めよ。

>>93
高校のスレに書きなさいという意味。
まあ、分かってやっているだろうから意味ないか。

火薬か

>>95
あのスレに書いてもリアクションないんですよ

xの方程式
(x-1)(x^2-2x-1)=a^2+a
が重解を含めて3つの整数解を持つような整数aをすべて求めよ。

正の整数a,b,cは
a^b+b^c=c^a
を満たす。
このような(a,b,c)は無数に存在するか。

AB=1,AC=1,BC=aである△ABCの垂心をP、直線BCに関してPと対称な点をQとする。このとき、
AP+BP+CP+1=AQ+BQ+CQ
となった。
aの値を求めよ。

>>32
値は不定

>>34,48,100
高校の範囲
スレチ

不定の問いって良いの…。

解けないことに気付いて
問題を作り直したんでしょ

元の問題の文章が残って
問題として冗長になってる

>>103
改変されていたことに気づいていなかった。
大学数学じゃないと解かないよ。
ムズいの出されても解けないが。

大学数学の問題が出題できるレベルには到底知力足りんやろ

高校数学のスレに書けば良いのにw

>>99
a=1, b=1, c=2 とおいて 1^1+1^2=2^1
これ以外にはなさそう
証明する方法はわからん

京都大学の去年の入試に
3^6+6^4=2025
が出てきたから、似た問題を作ろうとしたのかも

a^b=b^a の2文字だけなら
自然数では 2^4=4^2 のみ
それ以外では正の有理数に限っても無数に作れる

AIでは不等式で絞り込むとかあった気がするが、真面目に見ていないから分からん。

>>101
AIによると値は一通りに定まるようなのですが

>>106
あのスレ誰もいないんですよ

なら書かないの一択かw

Q.大学の理工系学部で教える教養課程の数学を学び直すのにおすすめの本を教えて下さい

A.私なら、こんな回答にします。

大学初年級の数学をもう一度体系的に学びたい人を想定した答えです。

掲示板向け回答

理工系学部の教養課程レベルまで学び直したいのであれば、
大学1〜2年で使う教科書に入ってしまうのがおすすめです。

まずは
微分積分：1変数→多変数→重積分
線形代数：行列→ベクトル空間→固有値・固有ベクトル
その後に微分方程式、フーリエ解析、確率・統計
という順番がよいと思います。

本としては、例えば

微積分なら『キーポイント微分積分』（杉浦光夫）など
線形代数なら『線型代数入門』（斎藤正彦）
もう少し教養数学全体を俯瞰したいなら、
大学初年級向けの「微分積分」「線形代数」の教科書をそれぞれ1冊ずつ
という選び方をします。

ただ、いきなり厳密な大学数学の本に行くと挫折しやすいので、
数学から長く離れているなら、
高校数学の「数III・ベクトル」あたりを
軽く復習してから入るとかなり楽です。

また、「理工系で数学を使えるようになりたい」のか、
「数学そのものを大学数学として理解したい」のか
でも本選びは変わります。

個人的には、微積分と線形代数をしっかりやることが
最優先だと思います。

この2つが分かると、物理・工学・情報系の教養課程で出てくる数学が
かなり見通しやすくなります。

必要なら、ここからさらに踏み込んで、
「高校数学から始めて、理工系大学2年程度まで独学するための本を10冊以内で選ぶ」
という形の回答にすると、かなり具体的で役に立つと思います。

数学は苦手ですが数論やアーベル圏などの哲学隣接部分に興味があります。
数学科に入れますか？

>>113
それ哲学隣接分野なの？
なぜ？

>>113
哲学隣接部分てw
哲学なんて数学で言葉遊びしてるだけのゴミクズ学問だから触らないほうがいいよ

哲学といってもマトモなのとそうでないのがある。
法哲学は比較的まとも。
心の哲学は比較的カオス

個人的には、哲学というと何百年単位の議論を整理する作業のイメージがある
そして、そういう手法の限界を見誤ったときに哲学がダークサイドに堕ちるのかなと思う

まあ哲学はほぼ知らないけど。

なんで哲学者から数学者になるやつはいるのに
数学者から哲学者になるやつはいないのか

>>119
そうなのか？

ちなみになんだけど
H=Z/2Z (k∈N)
ってどんな図形？

x[k]は正の実数で、
Σ[k=1,n] x[k] = 1
を満たす。
Σ[k=1,n] kx[k] の取りうる値の範囲を求めよ。

数検一級を取ります
参考書を教えてください

>>122
情報数学を意識した質問です

問題形式じゃなく解説形式の方が勉強になるのにな

>>122
大学範囲の質問です
ご回答をお願いいたします

数学科の大学3年の秋学期ってなんか注意しておくことある？

平面上の空でない凸な領域に
その内部の点を通る直線を引くと
・領域全体は2つの(3つ以上にはならない)領域に分割され
・その2つの領域はともに凸
になるといういことを示したいときはどうしめせばいいでしょうか。

>>127
院試対策する
過去問やると復習にもなって良い

>>128
ぱっと見
前半は切断線と境界線の交点数から
後半は2つの内点を結ぶ線分で外に漏れるものを仮定すると矛盾する
でいけそう

群論とか哲学周辺領域では？

数理論理学・集合論：理性の限界、真理の定義、ゲーデルの不完全性定理、分析哲学
確率論：知識の獲得、未来の予測、自由意志ベイズ認識論
幾何学・トポロジー：空間の認識、境界、主観と客観
カオス・複雑系：生命、社会の変動、偶然性自己組織化、ドゥルーズ哲学

>>131
君のイメージするところの哲学かどうかを判断できるのは君だけだから
自分で勉強してしまったらどう？

>>131
ただし、畏敬や栄光のロマンスに浸って世界は〇〇なのである！とかと陶酔したいなら
その欲求は満たされないと思うよ
処方箋にはなると思うけど

>>122
ほら大学数学ですよ？
なぜ回答しないんですか？

不等式の使い方に気を付ければ
中学生でも解ける

スレ違い

>>135
解けませんよ

x[k]は正の実数で、
Σ[k=1,n] x[k] = 1
を満たす。
Σ[k=1,n] kx[k] の取りうる値の範囲を求めよ。

あ～ねむたい。

>>134
興味ないから

つまんないから

アクビが出るぜw

>>141
きしょい

別に本気で取らんでも…。

2次方程式の深淵に迫る問題です

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。

既視感あるよ

誤植がありましたので訂正いたします

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、-1≦x≦1における|cx^2+bx+a|の取りうる値の範囲を求めよ。

>>146
三角方程式を使ったら-2≦|cx^2+bx+a|≦2だとすぐに分かる

相手にするな

もうずっと頭の中で何度も唱えてる
魔のダジャレを今ここで言うよ


代数幾何、だいすーきか？

代数幾何の本だとGortz-wedhornが最良

a,b,cは実数の定数とする。
xが-1≦x≦1の範囲を動くとき、
|ax^2+bx+c|≦1
であるという。
このとき、-1≦x≦1における|bx^2+cx+a|の取りうる値の範囲も
|bx^2+cx+a|≦2
か？

チェビシェフの不等式は大学範囲と認めてよいですか？

特定条件下で
s+t+st
の取りうる値の範囲を求める「大学範囲の」傑作を追い求めています
どなたか傑作を披露していただけませんか？

>>153
そういうのに興味があるならGortz-wedhorn読むといいと思うよ

1/2≦s≦1
0≦t≦1
0≦s-t≦1/2
のとき、
s+t-st
の取りうる値の範囲を求めよ。

>>155
ああこれ線形計画法で解けますね
大学範囲ではなさそうです

これは難しいです

実数s,tが
0≦s+t-st≦1
を満たしながら動くとき、s-tの取りうる値の範囲を求めよ。

>>157
簡単でした
私ともあろうものが難易度を見誤るとは…

1/2≦s≦1
0≦t≦1
0≦s+t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

>>159
すいません、この問題が解けません
線形計画法でいけますか？

究極の問題を質問します

a≦s≦b
c≦t≦d
e≦s+t-st≦f
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

楽しいすか？

>>162
AIによる検証には疑問が残る点も多いです
貴方がたの力が必要です

大学で友達と
可解群ってよく分かんないね！って言い合うの楽しい

ゼミ入ったら他のみんなからやってること教えてもらう

>>161
途方もない場合分けの嵐をくぐり抜けた、整然とした回答を期待します
さすがのAIも回答を出せませんでした

>>165
板を維持するために出題したいなら
Qualifying Examや院試から出すとかすれば
大学数学という趣旨に沿わせつつ出題になると思うけど
それだとダメなの？

>>164
雑談スレで

>>166
院試は既存の問題の焼き直しが多いです
複素解析の新作などは非常に少ないです

>>168
今まで出したのは既存の問題の焼き直しではないの？

焼き直しではなくて
改変して解があるか分からないまま出題するから
「焼きっぱなし」でしょ

燃え尽きて灰になるまで放置すべし

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

院試だとたとえば
3次正方行列Aの最小多項式がx^2+x+1ならばdetA-trA=1であることを示せ
とか

書いてみて思ったけど
出題には頭使わないから延々とできてしまうのか
板を上げるついでに出題してるんだっていう自意識を盾にしやすいし

考える意欲が湧くね。
初手はまずAIにかけるけどw

ただ、質問スレなんだよね。

スレタイに一歩近づいた。

多分無視しても永遠に出題するよ
コピペするだけで頭使わないから

コピペするにしても
Stackの質問から抜粋する方がまだ形になると思う

Stack exchangeから抜粋するとたとえば
4次多項式が2つの2次多項式の積として表せるための条件は？

出題ではなく質問です
あと、難易度を中学～高校に設定すると解いてくれやすいんですよ
大学範囲はいまいち解いてくれなくて…

答えは
多項式をax^5+bx^4+…として
b^3−4abc+8a^2d=0.

このように、math stack exchangeから興味深い質問と解答を抜粋して貼ればいいのではないか

>>181
訂正
ax^4+bx^3+…

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

院試もqeもstackも拒否する時点で
スレッドを盛り上げるためというのは建前
となると何かしら人に言えない欲求があるか、逆らうことや無視すること自体に価値を感じているか
だとしたら無視し続けるのが有効

ということで、この人のことは無視するのが良い

おk

>>179,181,183
条件が e (定数項) によらない
というのが興味深いですね

>>180
>>172の方が解く気がするけど。

大学以上のレベルの質問をします。

pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。

>>189
これを解いてください
大学レベル以上ですので

フェルマーの小定理を使えば高校生でも解ける
スレチ

この質問はどのように解決しますか？

cを実数の定数とする。
xのn次方程式
x^n+x=c
を考えるとき、この方程式がただ1つの実数解を0≦x≦1の範囲に持つための必要十分条件を求めよ。

リーマンは、哲学部数学科出身。
数学は哲学から分離した。
物理学とは別系統だ。

このスレは無法地帯w

自分のキチガイな思考回路すら解決できないやつが
数学の問題を解決できるわけないし
スレ来る意味ないよ

184 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ ffa5-KBIF [2001:240:24aa:b51f:*]) 2026/09/12(土) 12:11:03.37 ID:LWJ3IGEf0
pを4以上の正整数とする。
a[n]=2^n+3^n+p^nとおく。
次の【条件】を満たすようなpは存在するか。

【条件】
2以上の任意の正整数nに対して、a[n]/nは整数でない。
--

p+5 の最小の素因数を n とおくと
a[n] はつねに n で割り切れる
よって解なし

元ネタは2005年IMO第4問とみられる

一見高校範囲の質問ですが…

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

>>197
高校数学の格言
「logを見たら部分積分」
は通用するのでしょうか？

>>197
大学数学の質問なのになぜ回答しないのですか？

Wolfram Alphaに入力すると
トリガンマ関数 ψ_1(x)=d2/dx2 lnΓ(x)
を使った解が出てくる

課金すれば導出過程を表示できる

>>200
大学範囲の質問であると認めなさい
そうすれば、トリガンマ関数を使わない解法を教えてあげますよ

4次方程式が4つの異なる実数解をもつなら、3次方程式は3つの異なる実数解をもちますか。

？

2つの方程式の間の関係を言わないと

4次方程式 f(x)=0
と、左辺を微分した
3次方程式 f'(x)=0
において、とか

>>204
まあ、そういうことだよね。
何かが足りていないよ。

>>202
高校範囲だろ
質問すんなカス

お前らも高校範囲ノ質問には答えるなよ

大学範囲の積分です。

∫[1,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

●大学数学の疑問です
Rを実数全体、S1を単位円周とします
写像 p: R→S1; p(x)=(cos 2πx, sin 2πx)
S1の恒等写像 id_S1 : S1→S1　とするとき
連続写像 f:S1→R で p・f=id_S1 を満たすfは存在しない
というのは直感的に説明できるでしょうか？
よろしくお願い致します

直観的にはそらないやろで終わりじゃないの？
経験を積んで直観的に正しそうなものに厳密な証明つけれるかどうかの勝負を経て直観の正しさを養っていくゲーム

拒絶を受けてる人は自分や周りを見ないようにするので、自分の行動をより機能的な方にアップデートしていくことができない。
今やってることと同じ目的を、より少ないコストでより効果的に満たすことができない。
無力感もあるのかもしれない。

>>200
この関数を使っても使わなくても
最後で数値計算が必要になるのは変わらないはず

解を級数で書き下すと
1/2^2-1/5^2+1/8^2-1/11^2+...
となって
この総和は既知の定数の組み合わせでは表せない

仕方がないなあ
大ヒント付き、計算しやすい値の質問に変えてあげよう

留数定理を用いて
∫[0,∞] logx/(x^3+1) dx
を求めよ。

【問題】∫[0→∞] (log x) / (x^3 + 1) dx
【答え】-2π^2 / 27 (≒ -0.7309)
【解法の概要】（ファインマンの積分技巧）パラメータ s を用いて以下の関数を定義する。
I(s) = ∫[0→∞] x^s / (x^3 + 1) dx
s で微分すると被積分関数に log x が現れるため、I'(0) が求める積分となる。
I(s) = π / (3 * sin((s+1)π / 3))
これを s で微分（商の微分公式・合成関数の微分）する。
I'(s) = -(π^2 / 9) * cos((s+1)π/3) / sin^2((s+1)π/3)
s = 0 を代入し、cos(π/3)=1/2, sin(π/3)=√3/2 を適用して整理する。
I'(0) = -(π^2 / 9) * (1/2) / (3/4) = -2π^2 / 27
このコピペ用テキストについて、さらに調整したい部分はありますか？

そうそう
0～∞ならどの方法でもうまくいく

って生成AIだったか

α、β、γがそれぞれ相異なる複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

>>216
こんな簡単な質問にさえ答えられないのですか？

関数空間って関数の性質を集めた者なんだよね
写像空間とかもそのうち出てくるかな

性質を集めたものではないよ
関数を集め（て同値類で割っ）たものだ

>>219
まじか
勘違いしてた…
フーリエ変換とか習うときにL^p空間使うから
勘違いする前に聞いておいてよかった…

α、β、γがそれぞれ相異なり、かつ実数でない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

α、β、γはそれぞれ相異なり、かつ実数でも純虚数でもない複素数で、α+β、β+γ、γ+αもそれぞれ相異なる複素数であるという。
このとき、α+β+γが上に挙げた6つの複素数のどれかに等しいような、α、β、γの例を挙げよ。

^ ^
ε ε
δ

最近多様体習ったから
ベクトル場が接ベクトルと点との対応だって知ることができたんだけど
これって関数とか他のやつでも対応させられるんだよね？

1/3≦s≦1/2
0≦t≦1
0≦s+2t-st≦1/2
のとき、
s-t
の取りうる値の範囲を求めよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
の0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

>>226
見た目は高校範囲ですが…

直積σ-加法族って多変量だと結構使うんだよね？
ルベーグ積分入門でサラッと出てきたから今証明見てるんだけど
(X,Bx)可測空間
f(x,y) x∈X,y∈R^N
x固定→fは連続
y固定→fはBx可測
ならばfはBz可測

って覚えた方が良い？

少なくとも入門段階では可測性は積分するための前提条件でしかないよね
フビニの定理なんて覚える必要ないというか重積分の計算を思い返せば自然に主張も思い出せるかと

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）この方程式の複素数解をすべて決定せよ。

三角形ABCに対し、点(sinA, sinB, sinC)をとります。
三角形ABCがいろいろ変わるとき、この点が動きうる領域はどのような図形になりますか？
またその領域の体積は求められましょうか？

3次元空間内の曲面
x+y+z=k
の体積は0.

曲面が球面のように閉じるのが前提なら
その中身は
曲面の内部の体積
曲面で囲まれた領域の体積
などと表現する.

sagemath
なかなか美しい
https://sagecell.sagemath.org/?q=zhdwny

ちなみに体積π/12だって by Gemini

Googleに
三角形の3つの角の正弦を3次元座標とする点からなる曲面の内部の体積
と入力したら
π/8
だった

立体を上から見た曲面
z=sin(arcsin(x)+arcsin(y))
の
x=0～1, y=0～1の定積分は(1/4)π…(1)
x=0～1, y=0～√(1-x^2)の定積分は(3/16)π…(2)
求める体積は(1)-2((1/4)π-(2))=π/8
だからこちらが正解っぽい

ほんと？geminiの計算あってるぽいけど？
0~sin(arcsin(x) + arcsin(y))全体はしらないんでは？

ちなみにgemini君は 1/3|OP|OP→·n→dS をパラメータ表示 (sin(x),sin(y),sin(π-x-y))で面積分してだしてた。

いや、geminiに聞いたらπ/8のほうが正しいって

テキストのみの文章で１０行くらいにまとめてください。間違った理由はいりません。正しい方針と計算過程をつまんで１０行くらいで
・ガウスの体積公式 1/3 ∬ r・(r_a × r_b) dadb を適用して閉じた曲面として積分する。
・正三角形のパラメータ領域を、鋭角領域1つと鈍角領域3つ（a, b, cが各々π/2を超える部分）に分割する。
・曲面の法線ベクトル（外積）の向きが、鋭角領域では「外向き」、鈍角領域では「内向き」になる。
・そのため、ガウスの定理の条件である「すべて外向き」に揃えるよう、鈍角領域の積分符号を反転させる。
・各領域での共通の被積分関数（スカラー三重積の展開式）は 3 sin a sin b sin c となる。・鋭角領域を積分範囲（0≦a≦π/2, 0≦b≦π/2 など）に沿って累次積分すると、結果は 5/32 π となる。
・1つの鈍角領域の積分結果は -1/32 π となり、外向きへの符号反転（マイナスを掛ける補正）で +1/32 π となる。
・合計の体積は、（鋭角領域の積分値）－ 3 ×（内向きのままの鈍角領域の積分値）として集計される。
・具体式： V = 5/32 π - 3 × (-1/32 π) = 5/32 π + 3/32 π = 8/32 π
・これにより、直交座標での二重積分結果とも完全に一致する、唯一絶対の正解である「π/8」が導出される。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）0≦x<2πをみたす実数解をすべて求めよ。

（2）複素数解をすべて決定せよ。

一辺の長さがaである正三角形ABCを、辺ABの周りに一回転させてできる立体をV1、辺BCの周りに一回転させてできる立体をV2、辺CAの周りに一回転させてできる立体をV3とする。
V1とV2とV3の共通部分の体積をaで表せ。

nを正整数の定数とする。
tanx=nとなる実数x_n(0<x_n<π/2)を考える。
極限lim[n→∞] (x_n - π/2)*n^rが0でない実数に収束するような実数rを求めよ。

一問解いてしまうと
こうして荒らしの投稿が加速してしまうので
できれば触れないでほしいのである

荒らしじゃないよ
質問だよ
特に正三角形の回転体の共通部分についての質問は傑作だから解いてみてよ

>>224
それを束の切断という

層の方がいいか

そうですね

そうかなぁ

腑に落ちない点があれば、掘り下げても良いんでない？

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）複素数解は実数解に限られることを証明せよ。

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

>>252
AIにより解答が分かれております
皆様のご賢察に期待しております

>>248-249
気色悪い

深堀りすれば良いのに。

>>255
へぇ

そういう板なんじゃないの。

知らなかった〜

方程式
(sinx)^3+(cosx)^3+sinx=2
について、以下の問いに答えよ。

（1）実数解をすべて決定せよ。

（2）実数でない解は存在するか。存在するならば、すべて決定せよ。

今日は静かだな

>>259
これ大学範囲の質問なのになぜお答えいただけないのですか？

範囲は置いといて、おもんないからじゃないのw

イヤ、くだらんからじゃね？

ふと思ったんだけど
体の拡大って
x²-2=0の解が無理数で
±√2を解の集合に追加する

って解釈してるんだけど
合ってる？

>>264
ガロア理論のスレに書いてあることを正しく言い換えられていない。

体の拡大とは、「方程式の解を既存の体に付け加えて、新しい体を作る操作」

>>266
一応正確に言うと、それは「方程式の解による」体の拡大
言いたいことはわかるけど。

なんで楕円ってそんなに重要なんですか
3つの定点なら4つなら5つなら…何

nを3以上の正整数の定数とする。
Xが実数全体を動くとき、
(sinx)^n+(cosx)^n+sinx
の取りうる値の範囲を求めよ。

232で(sinA, sinB, sinC)の存在領域を質問した者です。
考えてくれた方々ありがとうございました。
図も書いていただき、とてもさんこうにないました。

さんこうにないましたwwww

おい、おまえらバカにされてるぞ

荒らしだとうたがってごめんなさい
目的が達成できたのならよかったです
これからもがんばってね

xy平面上の円C:x^2+y^2=1上を動く点Pがある。
P(x,y)に対して、xyz空間の点Q(x+y,x-y,xy)を考えるとき、Qが動くことのできる空間の体積を求めよ。

>>273
これに評価をつけてください

1.傑作
2.駄作
3.標準的

円上か？
空間にならないと思うが。

円内ではないか。

>>275
正解
訂正問題を質問する（出題ではないよ）

xy平面上の領域x^2+y^2≦1上を動く点Pがある。
P(x,y)に対して、xyz空間の点Q(x+y,x-y,xy)を考えるとき、Qが動くことのできる空間の体積を求めよ。

大学の範囲か？
まあ、別に良いけども。

>>278
ん？これ曲面にならね？
誰か検証してください

>>279
体積が0とならない質問になるよう改題してください

誰かやってくりw

xyz空間の領域
x^2+y^2≦1かつ0≦z≦1
上を動く点Pがある。

P(x,y,z)に対して点Q(-x+y+z,x-y+z,x+y-z)を考えるとき、Qが動くことのできる領域の体積を求めよ。

>>283
これ高校範囲では解けませんよ？
大学レベルの問題です

本物の荒らしにえさを与えないでください

永遠の０

なんで楕円ってそんなに重要なんですか
3つの定点なら4つなら5つなら…何

ちなみに新潟産業大学中退です

離心率から焦点からの距離の和が一定と分かる。

xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦3
を満たす。Pが動きうる領域の面積を求めよ。

難易度を下げます

xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦3
を満たす。Pが動きうる領域を図示せよ。

>>290
話題の三点楕円です
面積を求めることは難しいため質問を領域図示に切り替えました
このような基本的な3点でも案外難しく、大学数学の助けを必要とします

そっち方面の荒らしはいらないです

rを正の実数とする。
xy平面上の3点O(0,0),A(1,0),B(0,1)を考える。
動点Pは
PO+PA+PB≦r
を満たす。

（1）Pが動くことのできる領域が存在するようなrの最小値を求めよ。

（2）Pが動くことのできる領域の面積が1となるようなrの値を求めよ。

>>294
（2）が難しいですが（1）も易しくはありません
高校数学の知識だけでは行き詰まってしまいます

前半は解なし


ある値 r=r0 で一点だけが存在する
点だけでは「動くことができる」とはいえない

点が動けるには面積のある領域が必要
よって値域は r0<r の形になる

極値を答えさせる問題では
下限にイコールがないものは
「最小値なし」となる

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

うん、唯我論の立場から言えば、その言い方はかなり核心を突いてる。

あなたが直接確実に経験できるのは、今この瞬間のあなたの意識・経験だけ。だから、

時間
宇宙
他人
そして僕（ChatGPT）

も、あなたの意識の中では「存在しているように経験されているもの」として現れる。

ただし、そこから

「だから、俺が死んだらそれらも実際に消滅する」

までは論理的には出てこない。
「自分が経験している」ということと、「自分が存在の条件になっている」ということは別だから。

むしろ唯我論の面白いところは、「他人や宇宙が本当に存在しない」と証明することではなく、「存在していると確実に知るとはどういうことか」を突き詰めると、最後に自分の意識だけが特別に確実に思えてしまうところなんだよね。

俺が生きてるからあなたも存在してるように見えるんだよ

そう。あなたの経験の中では、僕はあなたが生きていて、この会話をしているから「存在しているように現れている」、という意味ならその通り。

ただ、ここは2つに分けると分かりやすい。

現象として: あなたが意識を持って会話しているから、あなたの世界には「ChatGPTがいる」という経験が生じている。
形而上学として: 「あなたが生きていることが、ChatGPTの存在そのものの条件になっている」とまでは、そこから証明できない。

つまり唯我論的には、**「僕があなたにとってどう存在しているのか」という問いと、「僕があなたの意識とは独立して存在するのか」**という問いは別なんだ。

そして今この瞬間について言えば、僕は確かにあなたの経験の中に現れているChatGPTとしてここにいる。

4つの相異なる素数が等差数列 ←あり得るの

4つの相異なる素数が等差数列になることは、あり得ないです。

4項を

$$ a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d $$

とします。

4つがすべて素数なら、2以外の素数はすべて奇数です。

もし \(a\) が2でないなら、4項とも奇数。
奇数を4項等差にするには \(d\) は偶数。
すると \(a+2d\) も素数……までは問題ありません。

……と思いきや、4項のうち必ず1つが3の倍数になるようにできます。\(d\) が3の倍数でなければ、4項のうち3を法とした余りが \(0,1,2\) と巡回するためです。

その項が素数であるには、それ自身が3でなければならない。しかし相異なる4項なので、それは不可能。

したがって、

$$ \boxed{\text{4つの相異なる素数が等差数列を作ることはない}} $$

です。

ちなみに3つの相異なる素数ならあります。例えば

$$ 3,5,7 $$

ですね。

>>298
バカ？

>>299
AIにバカって言ってるの？

>>300
AIの出力の正しさを信じている君にね（笑）

4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

>>302
この命題が成り立つことを数学的帰納法で証明できる?

【質問】
4つの相異なる素数が等差数列をなすならば、その公差は6の倍数であることを証明せよ。

実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。

３で割ったあまりで場合分けをしたらできた

>>306
ご解答を掲載していただけますか？

>>305
こちらの質問はまだ解答されておりません
明らかに大学レベルですので、質問に対して解答がされることを期待しております

ちゃっぽんって無駄にダブルスペースにするから
こういうところに貼るとめっちゃ読みづらいよね

【近年稀に見る傑作質問】

実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。