w∈W(aa)=W(e)aW(e)aW(e)
に対して
{(p,q,r):w=paqar}
の最短の|p|であるものが決まるから
qarをa→b→c→d→aの置換σで入れ替えて
q^σ=q',r^σ=r'∈W(e)
なので
W(aa)∋w=paqar→w'=paq'br'∈W(ab)
は単射
w'∈W(ab)=W(e)aW(e)bW(e)
に対して
{(p',q',r'):w'=p'aq'br'}
の最短の|p'|であるものに対して
q^σ=q',r^σ=r'
で
W(ab)∋w'=p'aq'br'→w=p'aqar∈W(aa)
も単射
よって
|W(aa)2n|=|W(ab)2n|
あれ？
でもそれなら
|W(aa)2n|=|W(ac)2n|=|W[ac]2n|=|W(e)2(n-1)|
でもあるかな？
何か変だな