メモ:関数論の妙所 大沢健夫 現代数学 2026を読んで

ヤコービの逆問題

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
ヤコビ多様体
種数 g の非特異代数曲線 C のヤコビ多様体 (ヤコビたようたい、Jacobian variety) J(C) とは、次数が 0 の直線束のモジュライ空間を言う。ヤコビ多様体は、C のピカール群の単位元の連結成分であり、従って、アーベル多様体である。

ヤコビ多様体の名称はヤコビの逆問題を研究したカール・グスタフ・ヤコビにちなむ[1]。最初に「ヤコビ多様体」の名称を使ったのはフェリックス・クラインではないかと言われている[2]。

はじめに
原文と比べた結果、この節には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。

ヤコビ多様体の名称は、アーベル・ヤコビの定理を完全に証明しニールス・アーベル(Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にしたカール・グスタフ・ヤコビ[要検証 – ノート][注 1](Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。ヤコビ多様体は、次元 g の主偏極アーベル多様体であり、従って、複素数体上では複素トーラス（英語版）(complex torus)である。p が C 上の点であれば、C は J の単位元へ写像される与えられた点 p を持つ J の部分多様体へ写像することができ、C は J を群として生成する。

リーマン面のヤコビ多様体の構成
略

（多分 原文）
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_variety
Jacobian variety

>>2
>ヤコビ多様体の名称は、アーベル・ヤコビの定理を完全に証明しニールス・アーベル(Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にしたカール・グスタフ・ヤコビ[要検証 – ノート][注 1](Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。

実は、「アーベル・ヤコビの定理」にリンクがあり、下記に飛ぶ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E5%86%99%E5%83%8F
アーベル・ヤコビ写像
アーベル・ヤコビ写像(アーベル・ヤコビしゃぞう、Abel–Jacobi map)は、代数曲線とそのヤコビ多様体とを関連付ける代数幾何学で構成する写像である。リーマン幾何学では、多様体をヤコビトーラスへ写像するという、より一般的な構成の写像である。写像の名称は、2つの有効因子が線型同値（英語版）(linearly equivalent)であることと、アーベル・ヤコビ写像の下では 2つの因子が同一視できることと同値であるという定理が、アーベル・ヤコビの定理である。この定理の名称は、発見者であるアーベルとヤコビに因んでいる。

アーベル・ヤコビの定理
次の定理は、アーベル(Abel)により証明された。
略
ヤコビは、この写像が全射でもあることを証明し、従って 2つの群は自然に同型となることを証明した。

アーベル・ヤコビの定理は、コンパクト複素曲線（正則 1-形式の周期を modulo とする双対）のアルバネーゼ多様体は、そのヤコビ多様体（次数 0 の因子の同値類）と同型であることを意味している。高次元のコンパクト射影多様体について、アルバネーゼ多様体やピカール多様体は、双対であるが同型であるとは限らない。

（英語版は見ておくべし）
https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Jacobi_map
Abel–Jacobi map

Abel–Jacobi theorem
The following theorem was proved by Abel (known as Abel's theorem): Suppose that
略
Jacobi proved that this map is also surjective (known as Jacobi inversion problem), so the two groups are naturally isomorphic.

The Abel–Jacobi theorem implies that the Albanese variety of a compact complex curve (dual of holomorphic 1-forms modulo periods) is isomorphic to its Jacobian variety (divisors of degree 0 modulo equivalence). For higher-dimensional compact projective varieties the Albanese variety and the Picard variety are dual but need not be isomorphic.

まあ、ぼちぼちと （＾＾

ガロじゃ爺のコピペスレ

ありがとね（＾＾

光ＧＥＮＪＩの人？

ようこそここへ

燃料投下
下記 河田先生
ガウスの楕円関数論(高木貞治先生著"近世数学史談"より),上智大学数学講究録,24,1,184 1986年
目次より
§7 Jacobiの楕円関数 P74
とある

さて、”複雑な対象はいろんな切り口で考えよ”
という人生訓がある
現代的な視点での、楕円関数論の切り口も良いが
古典的あるいは歴史の発展順の切り口もあって良い
多面的な切り口で、自分の理解を深めるのが吉！

(参考)
https://sophia.repo.nii.ac.jp/
上智大学学術情報リポジトリSophia-R
Japanese　／　English
”ガウスの楕円関数論”
検索結果
ガウスの楕円関数論(高木貞治先生著"近世数学史談"より),上智大学数学講究録,24,1,184 1986年
河田, 敬義 ;
https://sophia.repo.nii.ac.jp/record/2026217/files/2000020527_24.pdf
ガウスの楕円関数論 - 上智大学学術情報リポジトリ(Sophia-R) 1986年
上智大学学術情報リポジトリ
PDF
河田敬義 著 · 被引用数: 1 — しかし今日では、大学で楕円関数論をていねいに講義する機会はほとんど無いの. である。 ”史談” (p.34). から. には. "現代的の楕円函数論では高度に発達した函数論を ...
196 ページ

今年はRiemannの生誕200年にあたるので、彼の学位論文(1851)を話の糸口にしよう。この論文で、孤立特異点の除去可能性について有界正則関数の場合にはじめて論じられた。この意味で、関数論的零集合の最初の例は孤立点である。同じ論文で$\mathbb{C}$の一点コンパクト化であるRiemann球面$\hat{\mathbb{C}}$や、$\hat{\mathbb{C}}$上に何重にも重なった面としてのRiemann面が導入されたが、それは複素一変数の代数関数の線積分の理論を、AbelやJacobiらによる楕円関数論の自然な一般化として確立するための基礎理論の文脈においてであった。Hurwitzは$\mathbb{C}^n\setminus\{(0,0,...,0)\}$が$n\geq2$ならば正則領域ではないことをLaurent級数を用いて示し、正則関数が多変数の場合には孤立特異点を持ちえないことを指摘した(ICM 1897)。これはより一般の接続原理を示したHartogsの正則領域の研究(1906)へとつながった。

>>9
バカが自分でガソリン被ってライター付けて火だるま
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>11 レスありがと

>>10 これは御大か。巡回ありがとうございます（＾＾

話をRiemannに戻すと、関数の真性特異点における集積値集合が
$\mathbb{C}$全体であるというCasorati-Weierstrassの定理は、
Riemannの除去可能性定理の系だが、Picardはそれを除外集合が
高々一個であるという形に精密化した(1879)。
関数論的零集合の概念はこの現象に関連して現れた。

小定理と大定理
ピカールとフェルマー以外には知らないなぁ。

>>13
これは御大か。巡回ありがとうございます
初耳にして お経ですが、下記など
そのうち門前の小僧になれますように（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Casorati%E2%80%93Weierstrass_theorem
Casorati–Weierstrass theorem
In complex analysis, a branch of mathematics, the Casorati–Weierstrass theorem describes the behaviour of holomorphic functions near their essential singularities. It is named for Karl Theodor Wilhelm Weierstrass and Felice Casorati.[1] In Russian literature it is called Sokhotski's theorem, because it was discovered independently by Sokhotski in 1868.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Casorati%E2%80%93Weierstrass_theorem#/media/File:Essential_singularity.png
Plot of the function exp(1/z), centered on the essential singularity at z = 0. The hue represents the complex argument, the luminance represents the absolute value. This plot shows how approaching the essential singularity from different directions yields different behaviors (as opposed to a pole, which would be uniformly white).

History
The history of this important theorem is described by Collingwood and Lohwater.[3] It was published by Weierstrass in 1876 (in German) and by Sokhotski in 1868 in his Master thesis (in Russian). So it was called Sokhotski's theorem in the Russian literature and Weierstrass's theorem in the Western literature. The same theorem was published by Casorati in 1868, and by Briot and Bouquet in the first edition of their book (1859).[4] However, Briot and Bouquet removed this theorem from the second edition (1875).

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BE%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理（英: Casorati–Weierstrass theorem）

連載頑張ってください

Painlev\'e(1884)は除去可能性定理の一般化を目指し、
コンパクトな集合$E\subset\hat{\mathbb{C}}$がある時、

その補集合で有界正則な関数は定数以外に存在しない為の$E$の条件を求む

という問題を提出した。Picardの定理のeffective versionを求める方向と言えるだろう。

リーマン面という1次元ばかりやってても埒が明かないのだ
21世紀も四半世紀過ぎたのだからそろそろ高次元へ向かおう
楕円関数論もアーベル・ヤコビ写像もどんどん高次元化せよ

大数学者の中には
お題目を唱えるのが好きな人もいる

Picardの定理に関連する重要な展開の一つに、双正則写像により不変な擬計量の導入がある。小林昭七(1967)はこれを用いてPicardの定理の幾何学的証明を与えた。

「複素幾何学」のあとがきには
多変数関数論はこれからますます幾何学化するだろう
という予言がある。

Picardの定理のeffective versionを求める方向では、Nevanlinnaによる値分布論もその重要な成果であり、これに関連して開Riemann面論が、種々の関数の存在・非存在によって分類する理論として展開した。そこで重要な役割を果たす関数として、Green関数とEvans-Selbergポテンシャルがある。

解析的容量に非常に近い対数容量という等角不変量がある。
岡の初期の論文[O1,1934]に、領域の直径の変動に関するものがあるが、
Levi問題の解決に至るための瀬踏みともみなせるものである。
これを一般化して超越直径すなわち対数容量の変動を論じたのが
[Y1,1973]であった。

Bergmanが予想した強擬凸領域上のBergman核の主要項は、
H\"ormanderが$L^2$評価の方法で決定した(1965)。
これはLevi問題の解(の一部)である定理１のeffective versionと言えるが、
境界が$C^\infty$級の場合にはFeffermanにより
さらに詳しい漸近展開(1974)へと精密化され、微分幾何にも影響を与えた。
ちなみにPerelmanによる3次元Poincar\'e予想の解決(2003)はこれと地続きの話題である。