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メモ:関数論の妙所 大沢健夫 現代数学 2026を読んで

1１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/21(金) 11:49:35.55ID:HLWrSiSm
突然ですがｗ （＾＾
読んで メモ貼ります
(参考)
https://www.gensu.co.jp/gekkan_print.cgi
現代数学
https://www.gensu.co.jp/gekkan_print.cgi?date=202608
2026 8月号
関数論の妙所／楕円関数からリーマン面へ　　　 大沢健夫

今月
現代数学2026年9月号
P44
ヤコービ楕円関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E6%A5%95%E5%86%86%E9%96%A2%E6%95%B0
ヤコビの楕円関数
ヤコビの楕円関数（ヤコビのだえんかんすう、英: Jacobi elliptic functions）とは、基本的な楕円関数の一群であり、追加でテータ関数を含むこともあり、歴史的に重要な関数からなる。これらの関数は重要な構造を持っていて、さらに直接関連した応用も存在する。三角関数との類似性も便利で、sin に対応する関数を sn と表記する[注釈 1]。実用的な問題にはヴァイエルシュトラスの楕円函数よりもヤコビの楕円関数のほうがよく用いられる。これは複素解析の概念を使わずに定義し考察できるからである。これらの関数はCarl Gustav Jakob Jacobi (1829)により導入された。

導入
ヤコビの楕円関数は全部で12種類ある。これら12種は長方形のある頂点から他の頂点へ引いた矢印に対応している
略

楕円積分の逆関数による定義
上記のように、特定の性質を持つ唯一の有理型関数として定義するのは非常に抽象的である。より単純で、完全に同値な定義として、第1種不完全楕円積分の逆関数として定義することができる。まず、
略
（ここは、P44とほぼ同じ）

（独語 de.wikipediaが分かり易い 独語読めない？ 心配するな いまどき機械訳スイッチがある）
https://de.wikipedia.org/wiki/Jacobische_elliptische_Funktionen
Jacobische elliptische Funktionen
(google訳)
楕円積分の逆関数による定義
上記の定義は、一意な有理型関数として非常に抽象的です。同様に、ヤコビ楕円関数は、第一種不完全楕円積分の逆関数として定義できます。これが一般的で、おそらく最も理解しやすい定義です。
k特定のパラメータ
0≤k<1
次にヤコビアン振幅 am（z;k）[ 4 ]で定義される
略
この方程式の特殊な場合として、次の式が得られる。
略
最初の3つのヤコビ楕円関数
sn、cn そしてdn [ 4 ]で与えられる

参考文献
4. M. Abramowitz、I. Stegun:数学関数ハンドブック。p . 569 、2025年9月28日アクセス（英語、ラベルは改変）。
27１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/26(水) 22:06:07.97ID:yBc7uIlp
定理7をより一般の族に対して拡張する方向には多次元領域の変動[Y3]や静電磁学の延長上の数理物理的なもの[Y4]があるが、Riemann面の族に限っても、幾何学的または物理的に標準的な変動を定理7の視点から深堀りすることにも興味があるだろう (例えば[HSY], 2017)。その一方で、Berndtsson ([B], 2006)が[MY]を一般次元のStein多様体の族に対して拡張したことは大きな反響を呼んだ。これは後に代数幾何の文脈で小平型消滅定理の相対版と関連し、ある種の直線束の順像層が中野の意味で半正であるという結果につながった(cf. [PT])。
28１３２人目の素数さん
垢版 |
2026/08/27(木) 10:40:08.67ID:4aMd9w5p
修正版

定理7をより一般の族に対して拡張する方向には多次元領域の変動[Y3]や静電磁学の延長上の数理物理的なもの[Y4]があるが、Riemann面の族に限っても、幾何学的または物理的に標準的な変動を定理7の視点から深堀りすることにも興味があるだろう (例えば[HSY], 2017)。その一方で、Berndtsson ([B], 2006)が[MY]を一般次元のStein多様体の族に対して拡張したことは大きな反響を呼んだ。これは複素Monge-Amp\`ere方程式を通じて微分幾何とつながり(cf. [KLY])、後には代数幾何の文脈でも小平型消滅定理の相対版と関連し、ある種の直線束の順像層が中野の意味で半正であるという結果につながった(cf. [PT])。このように、山口理論はいわば四通八達の観を呈するに至ったわけだが、もう一つ、Bergman核との関連でふれずにはいられないのが$L^2$拡張理論との関係である。
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