大学学部レベル質問スレ 25単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1724660877/

スレ復活か

こんなんあったのね、知らなんだ。

ここに質問してみよっと
順序数αの共終（順序）数cf(α)とは
順序数βからαへのcofinalな写像fが存在する最小の順序数βのこと
すなわち
cf(α)=min{β∈Ord:∃f:β→α:cofinal}
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
が成り立つことで
Id:α→α
は
明らかにcofinalだから
α∈{β:∃f:β→α:cofinal}≠φ
よりcf(α)が定義しうることが分かる

さて
cf(α)=α
すなわち
∀β<α,∀f:β→α,∃γ<α,∀δ<β:f(δ)<γ
が成立するαのイメージが掴めない

cf(ω0)=ω0
とか
cf(ωn)=ωn（ωnはℵnの順序型）
はいいんだけど
ωω0=sup{ωn:n<ω0}
は
cf(ωω0)=ω0≠ωω0
だから
cf(α)=α
であるαにはωω0は含まれない
いったいどんな順序数が
cf(α)=α
を満たすのかイメージが掴めない

>>7
>ωω0=sup{ωn:n<ω0}
これは
ℵ0,ℵ1,…
より大きい基数（濃度）の中で最小の基数
ℵ0,ℵ1,…<ℵω0
の順序型

お前はあっちへいけ

あっちこっちそっちこっち…

>>9
判らないんですね
分かります

後続順序数に関しては
cf(α+1)=1
ωα+1=min{β∈Ord:ℵα<|β|}
β<ωα+1→|β|≦ℵα
もし
β+1=ωα+1
なら
ℵα=|β|=|β+1|=|ωα+1|=ℵα+1
で矛盾なので
ωα+1
は極限順序数
よって
ωα+1=∪ωα+1
もし
cf(ωα+1)<ωα+1
だとすると
ある
β<ωα+1
と
f:β→ωα+1:cofinal
すなわち
∀γ<ωα+1,∃δ<β:γ≦f(δ)
が存在する
つまり
ωα+1=∪ωα+1=∪{γ:γ<ωα+1}=∪{f(δ):δ<β}
より
ℵα+1=|ωα+1|≦|β|ℵα≦ℵα^2=ℵα
で矛盾
よって
cf(ωα+1)=ωα+1
つまり
cf(ωα)<ωα
でありうるのは
α:limit
のときのみ

レス乞食爺

◇殺人組織の話しているエネルギー兵器についての数式が完成した模様で下記のURL先のコメントを読むとわかると思います

渡り鳥の「磁気コンパス」はなぜ機能する?　量子生物学の謎に迫る新たな数学理論 [すらいむ★]
2026/09/11(金) 22:38:00.07
https://egg.5ch.io/test/read.cgi/scienceplus/1789133880/

cf(α)=α
である順序数はωαに限るかな？
cf(α)=min{β∈Ord::∃f:β→α:cofinal}
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
であること
cf(α)=α
のとき
β<α=cf(α)
で
|β|=|α|
となるものが存在するとすると
（|β|≦|α|は自明）
f:β→α:iso
があるので
∀γ<α,∃δ<β:γ=f(δ)
すなわち
f:β→α:cofinal
なので
df(α)≦β<α
となって矛盾
よって
β<α
であれば
|β|<|α|
則ち
α=|α|（=min{β∈Ord::∃f:β→α:iso}）