大学学部レベル質問スレ 25単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・質問は正確にすること、教科書で定義を確かめること
・高校生以下の質問はそれぞれのスレへ
・自作問題は禁止
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1724660877/

スレ復活か

こんなんあったのね、知らなんだ。

ここに質問してみよっと
順序数αの共終（順序）数cf(α)とは
順序数βからαへのcofinalな写像fが存在する最小の順序数βのこと
すなわち
cf(α)=min{β∈Ord:∃f:β→α:cofinal}
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
が成り立つことで
Id:α→α
は
明らかにcofinalだから
α∈{β:∃f:β→α:cofinal}≠φ
よりcf(α)が定義しうることが分かる

さて
cf(α)=α
すなわち
∀β<α,∀f:β→α,∃γ<α,∀δ<β:f(δ)<γ
が成立するαのイメージが掴めない

cf(ω0)=ω0
とか
cf(ωn)=ωn（ωnはℵnの順序型）
はいいんだけど
ωω0=sup{ωn:n<ω0}
は
cf(ωω0)=ω0≠ωω0
だから
cf(α)=α
であるαにはωω0は含まれない
いったいどんな順序数が
cf(α)=α
を満たすのかイメージが掴めない

>>7
>ωω0=sup{ωn:n<ω0}
これは
ℵ0,ℵ1,…
より大きい基数（濃度）の中で最小の基数
ℵ0,ℵ1,…<ℵω0
の順序型

お前はあっちへいけ

あっちこっちそっちこっち…

>>9
判らないんですね
分かります

後続順序数に関しては
cf(α+1)=1
ωα+1=min{β∈Ord:ℵα<|β|}
β<ωα+1→|β|≦ℵα
もし
β+1=ωα+1
なら
ℵα=|β|=|β+1|=|ωα+1|=ℵα+1
で矛盾なので
ωα+1
は極限順序数
よって
ωα+1=∪ωα+1
もし
cf(ωα+1)<ωα+1
だとすると
ある
β<ωα+1
と
f:β→ωα+1:cofinal
すなわち
∀γ<ωα+1,∃δ<β:γ≦f(δ)
が存在する
つまり
ωα+1=∪ωα+1=∪{γ:γ<ωα+1}=∪{f(δ):δ<β}
より
ℵα+1=|ωα+1|≦|β|ℵα≦ℵα^2=ℵα
で矛盾
よって
cf(ωα+1)=ωα+1
つまり
cf(ωα)<ωα
でありうるのは
α:limit
のときのみ

レス乞食爺

◇殺人組織の話しているエネルギー兵器についての数式が完成した模様で下記のURL先のコメントを読むとわかると思います

渡り鳥の「磁気コンパス」はなぜ機能する?　量子生物学の謎に迫る新たな数学理論 [すらいむ★]
2026/09/11(金) 22:38:00.07
https://egg.5ch.io/test/read.cgi/scienceplus/1789133880/

cf(α)=α
である順序数はωαに限るかな？
cf(α)=min{β∈Ord::∃f:β→α:cofinal}
ここで
f:β→α:cofinal
とは
∀γ<α,∃δ<β:γ≦f(δ)
であること
cf(α)=α
のとき
β<α=cf(α)
で
|β|=|α|
となるものが存在するとすると
（|β|≦|α|は自明）
f:β→α:iso
があるので
∀γ<α,∃δ<β:γ=f(δ)
すなわち
f:β→α:cofinal
なので
df(α)≦β<α
となって矛盾
よって
β<α
であれば
|β|<|α|
則ち
α=|α|（=min{β∈Ord::∃f:β→α:iso}）

さて
α:limit
のときのωαだけが
cf(ωα)<ωα
で有り得るのだが
確かに
cf(ωω0)=ω0<ωω0
cf(ω(ω0+ω0))=ω0<ω(ω0+ω0)
となるから
もしかして
cf(ωα)=cf(α)
なのかな？

>>16
>α:limit
>のときのωαだけが
>cf(ωα)<ωα
>で有り得るのだが
ここでは
cf(ωα)<ωα
であるαは極限順序数の場合のみだと言いたかった
cf(β)<β
となるβがωα（α:limit）に限るという意図ではない
（βが後続順序数ならcf(β)=1）

なんかだんだん質問じゃなくなってきたから
やっぱり基礎論スレに戻るかな

そもそもの質問の趣旨は
cf(α)=α
となる順序数とはどう把握できるかってこと
ωβ
でなくてはいけないことが分かり
βが後続順序数ならOKとも分かった
あそうか
それなら
cf(ωα)=cf(α)
は
αが後続順序数の場合は成立してないな
一般論にならなかったが
αが極限順序数の場合はどうなんだろうか

まずいまずい
基礎論スレに戻ります

位相空間論で分離公理をいろいろやるけれど
トポロジーだとほぼハウスドルフ空間T2ばかり
関数解析なら他の分離公理を使うのでしょうか？
他の分野ではどうですか

関数解析では分離公理が問題なることはないよ

数論だとザリスキ位相だよ
T1だけどT2ではない

より一般にはT1でもない

え？あそうなん？
どうして？

可換環レベルの話

なぜって聞いてるのか
本当はやったことないな
生成点とか知らんだろう

Spec(Z)は数論の一番基本ではないかね

ちゃっちい自尊心のために数学やってるからちゃんとした本を開くこともなくaiに擦り寄って数学の勉強した気になって5chの噂を鵜呑みにしてるクズのくせに自分に攻撃しなさそうな人間を見つけるや先輩気取りで聞き齧った話をボロが出ないように短く書いてオナニーしてそれでもボロが出る無様晒して平気なふりしてえ？あそうなん？どうして？と相手のボロを引き出すとともに自分の平静を演出して知ったかでしたの一言が出せずそのまま都合が悪くなるや逃げるお前のようなプライドと実態が乖離したセコいガキは根性を治して本当の意味で他人を信頼し信頼され導き合うような成長のチャンスを失い続けて矮小な自尊心が肥大化し続けるしそんな簡単にボロが出るやつはお前の周りの人間全員分かって見て見ぬふりしてくれてるだけだお前はお情けでプライドを守ってもらってるだけの小物だからお前の言葉は本当は誰にも届いてないしお前の存在は誰も気に留めない取り合わない相手にしないそのまま年老いて周りの年上がいなくなったときお前は年下から失望され見放され蔑まれお前は自尊心がボロボロになって引きこもって薄汚いひとりぼっちのプライド肥大化ジジイになって気が狂って死にます

（狂い鳥）