>>299
>環も群の一種とみると、”Lagrange's theorem ”により
>　”同値類の構造は 各類で同一”が言える

「行間に巨大なギャップがありますよ」>>303
「そのことからなぜ対称性成立を帰結できるの？　どこにはどんな推論過程を省略してるの？」>>304
について
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく

1）まず>>6 Sergiu Hart Choice Games 2013
　http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf より
（数式崩れご容赦、原文ご参照）
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2
Consider the following two-person game game2:
• Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.
• Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}.
• If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi ≠ ξ then Player 1 wins.
By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have:
Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.
Proof.
略
(余談追録)
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0,1] and {0,1,...,9}, respectively.

2）さて記号を用意しよう。上記 decimal expansion 10進 で、有限小数環をU10とする(⊂Q(⊂Rでもある))
　game2とは、有理数Qの無限10進展開で しっぽ同値類を考えたもので
　ゆえに 話は可算でおさまるから フルパワー選択公理不要（可算選択公理で可）
　あきらかに、このしっぽ同値から、加群の商Q/U10が誘導される。つまり q1,q2 ∈Q が同じ同値類なら q1-q2＝u ∈U10で
　ゆえに、”Lagrange's theorem ”の適用で 加群の商Q/U10の各同値類は同じ構造を持つ
3）上記10進展開 0.x1x2...xn..., は 形式的冪級数 x1X+x2X^2+...+xnX^n+..., でX＝1/10 を代入したと見なせる
　ここで 都築暢夫 広島大 >>18-19に繋がる
　game1は、箱入り無数目と同じ。つまり 前記 形式的冪級数 x1X+x2X^2+...+xnX^n+..., で
　all xn ∈R としたもの。形式的冪級数環を F[[x]]として>>29 f1((x)),f2((x))∈F[[x]] が しっぽ同値とすると
　f(x)＝f1((x))-f2((x)) ｜f(x)∈F[x]（R係数多項式環）となる。つまり、二つの形式的冪級数の差で同値のしっぽが消えて多項式になる
　加群商 F[[x]]/F[x] も ”Lagrange's theorem ”により 各同値類は同じ構造を持つ
4）札付きは、game2の類似で 実数[0,1]の6進小数展開と見ると 0.x1x2...xn..., で xn ∈ {0,1,...,5} と類似と考えれば良い
　この場合のしっぽ同値*)とは、6進の有限小数環 U6 を 考えていることと同じで
　加群の商R/U6 で 区間[0,1]に制限したと考えることがきる。”Lagrange's theorem ”により ”同値類の構造は 各類で同一”■