Rを長さ1の互いに素な区間の和、例えば ・・・∪[0,1)∪[1,2)∪・・・ で表した時、各区間にいかなる非負実数を割り当てても総和は0か∞にしかならないからR全体での一様分布は無いね。
間違ってた。すまん。
一様にしたいなら有界部分集合。非有界部分集合（Rも含む）にしたいなら一様をあきらめる、どちらかしかないね。