>・ 「無矛盾な理論全体には極大元がある」→ 基本的に違う
ある無矛盾な理論の無矛盾な拡大理論全体は包含関係で順序づけられる。その任意の鎖Cに対して∪CはCの上界。よって少なくとも一つの極大元を持つ。

https://en.wikipedia.org/wiki/Lindenbaum%27s_lemma
In mathematical logic, Lindenbaum's lemma, named after Adolf Lindenbaum, states that any consistent theory of predicate logic can be extended to a complete consistent theory. The lemma is a special case of the ultrafilter lemma for Boolean algebras, applied to the Lindenbaum algebra of a theory.