>>429
>「almost everywhere」
>要するに、測度論 そして 測度論を使う確率論では
>数学的厳密さを少し緩めて
>「測度 0 の集合を除いて」と例外を作らないと
>議論が難しくなりすぎる

Alex Prussが作った、ヘンな集合の話をするね

前提
１．選択公理を前提する　つまり任意の集合は整列可能
２．連続体仮説が成り立つとする　つまり2^ℵ0＝ℵ1

このとき、[0,1]内の実数から可算順序数への1対1写像oが存在する

x,y∈[0,1]についてx<<yを、o(x)<o(y)と定義する

S＝{(x,y)∈[0,1]×[0,1]|x<<y}を考え、その測度を求めようと考える

各α∈[0,1]について、S[x=α]={(α,y)∈{α}×[0,1]|α<<y}は、
[0,1]から可算個の点を除いた集合だから測度1
そして、それを全てのx∈[0,1]で合わせたものの測度は1
一方
各β∈[0,1]について、S[y=β]={(x,β)∈[0,1]×{β}|x<<β}は、
[0,1]内の可算個の点の集合だから測度1
そして、それを全てのy∈[0,1]で合わせたものの測度は0

つまり、積分の順序によって値が変わる

そして
Sに対してx,yを交換してできた集合をZとする
Z＝{(x,y)∈[0,1]×[0,1]|y<<x}

S∩Z={}　かつ　S∪Z=[0,1]×[0,1]ｰD

D={(x,y)∈[0,1]×[0,1]|x=y}

Dの測度は0、したがってS∪Zの測度は1
SとZは合同変換で移り合うので、
もし測度を持つなら両者の測度は同じ筈

アルェー　どっかでみたことあるぞ　この展開