>>537 補足

ホイヨ google検索のAIさん（＾＾；
(google検索)
What is the relationship between the real infinite-dimensional space $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ and a Hilbert space?
AI による概要
(google訳)（原文は各人検索で見よ）
現実の無限次元空間の関係R^Nとヒルベルト空間
R^Nは特定のヒルベルト空間を含む巨大なベクトル空間であるが、それ自体はヒルベルト空間ではない
なぜなら、そのすべてのベクトルに対して収束する標準的な内積が存在しないからである。両者の関連性と相違点を、以下に具体的に説明します

1. ベクトル空間と内積空間
・R^Nは実数のすべての数列の空間である。\((x_1, x_2, x_3, \dots)\)成分ごとの加算とスカラー乗算に関しては完全に有効なベクトル空間ですが、自然な内積は存在しません。標準的なドット積を適用しようとすると、\(\sum_{n=1}^{\infty} x_n y_n\)ほとんどの数列では、合計は発散する。
・ヒルベルト空間は、ノルムを誘導する内積を必要とし、かつ完備でなければならない（つまり、空間内のすべてのコーシー列が収束する）

2. 標準ヒルベルト部分空間：l^2
一部を回転させるR^Nをヒルベルト空間に取り込むには、標準内積が必ず収束するような数列に限定する必要があります
これにより、l^2（「リトル・エルツー」と発音）は、次のように定義されます
\(\ell ^{2}=\left\{(x_{n})\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}<\infty \right\}\)
・包括性： \(\ell^2 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}\)それは線形部分空間である。
・ヒルベルト空間の状態： \(\ell ^{2}\)は、典型的な分離可能な無限次元ヒルベルト空間である。すべての実数で分離可能な無限次元ヒルベルト空間は、 と等長的に同型である。\(\ell ^{2}\)

3. 位相的な違い
両者の間では、「近さ」や「収束」の定義が大きく異なる。\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)
・\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)通常は積位相（点ごとの収束位相）を備えている。この位相の下ではフレシェ空間となるが、その位相は単一のノルムや内積によって誘導することはできない。\(\ell ^{2}\)
・\(\ell ^{2}\)内積によって誘導されるノルム位相を備えている。この位相は、積位相の制限よりもはるかに細かい（開集合が多い）\(\ell ^{2}\)

概要比較
特徴　R^N　　　　　　　　　　　　　l^2（ヒルベルト空間）
サイズ　非可算無限次元であり、すべての実数列を含む。　厳密に小さい密な部分空間\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)
内積　すべての元素に普遍的に当てはまるものは存在しない。　⟨𝑥,𝑦⟩
幾何学　角度、長さ、直交性といった概念が欠けている。　完全な幾何学的枠組み（直交性、ピタゴラスの定理）
収束　点ごとの収束。　平均二乗収束（ノルム収束）

特定の用途で検討されている場合は、より詳しい情報を提供できます。以下の項目についてご検討いただけますか？
・線形汎関数は、これら2つの空間上でどのように異なる振る舞いを示すのか？
・その理由の証明\(\ell ^{2}\)完了しましたか？
・これは量子力学やフーリエ級数とどのように関係するのでしょうか？