ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

>>235
ですね

>グロタンディーク宇宙はVκ⊂V
Vはすべての階層の総和だから当然 Vκ⊂V。κが強到達不能基数ならVκはグロタン宇宙UだからU⊂V。
分かってないのはサル一匹。

LでのグロタンディークはLκと表せるみたいね
Lκ=L∩Vκ

>>236
圏論やるにはUがある方が都合が良いんでしょ。

こんな話は定義をちゃんと確認すれば簡単に分かる初歩なんだが、
なんで「いま現代数学の多くの概念が、きわめて抽象的な定義が与えられている。」とか言い訳して確認しないんだろう。
そんなに確認がおっくうなら数学なんてやめればいいのに。

>>240
集合論のモデルとなり得るものが
集合として存在すると都合が良い
っていう程度の話

>>231-242
(引用開始)
>１）何を集合とするかを決めるのが、いまの公理的集合論であり、公理の役割だ
集合は真クラスを元として持てるなんてどの公理も主張してませんけど
VはUを元として持てないなんてどの公理も主張してませんけど
(引用終り)

下記 フォン・ノイマン宇宙 Vと集合論
”ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである。Vω+ω はordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである。”
”κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。”

さて
１）「ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである」
　つまり、Vω内には 無限公理が無いので 集合ωは、存在しない（無限公理なしでは ωは集合でなくクラス（∵無限集合が作れない））
　普通に無限公理を持つ通常のノイマン宇宙V内では ωが存在して 集合として扱える（無限公理よる）
２）いまグロタンディク宇宙で 到達不能基数選択に自由度があるので κ+1を考え Vκ+1の中には κが存在すると仮定する
　さらに、ZFCでは「全ての概念は 集合に置き換えられるべき」ことを思い出そう。基数も集合なり
　下記の基数 フォン・ノイマンの割り当て により ある基数κが存在するとは それ未満の全ての基数と順序数を含む大きな集合κの存在を意味する
３）繰り返すが、通常のノイマン宇宙V内の（通常の＝到達可能の）全ての基数と順序数を含む巨大集合κの存在を意味する
　そして そういう巨大なκを含む宇宙内において さらに ZFCの公理を使って べき集合や和など 通常のVにおけると同様の集合演算がを尽くされる
　それが 宇宙 Vκ+1
　ゆえに 記号の濫用で V⊂Vκ+1、 Vκ+1＝Uとして V⊂U■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集∅
・すべての遺伝的有限集合 の集合Vω

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0
基数とは、集合の濃度 を測るために定義された自然数の一般化である
定義
基数の厳密な定義
フォン・ノイマンの割り当て
任意の順序数 β に対し β < α ⇒ | β | < | α | を満たす順序数 α を始順序数 (initial ordinal) という[注釈 1]。このとき整列可能な集合 X に対して min{α∈ON :| α | = | X | } を濃度 | X | の始順序数という（ただし ON は順序数全体からなるクラス）。 整列可能な集合の濃度をその始順序数として定義することをフォン・ノイマンの割り当てという

>>238
ですね

>>240,242
という話は耳にするんだけれど
具体的にはどんな操作をしたいんだろ？
たとえば
クラスの集まりは考えることが出来ないから
集合の集まりにするとかかと思うけれど
グロタン宇宙Uの部分集合はUの元じゃ無い
（元であるものもあるけれど）
つまりそういうものを考えたら結局Uの外に出てしまう
出てしまっても集合だから考えて問題ないとするんだろうけど
Uで収まらないからもう一段大きいグロタン宇宙考えて・・・
てキリないよね

>>243
>１）「ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである」
>　つまり、Vω内には 無限公理が無いので 集合ωは、存在しない
あぁ、君、基礎から分かってないわ。Vωは構造であって、そこにはいかなる理論も無い。君、理論とモデルの区別がついてないね。
Vωにωが存在しない理由は無限公理が無いからではない。因果関係が逆になってる。

>（無限公理なしでは ωは集合でなくクラス）
はい、大間違い。
「公理から存在証明できないものは真クラス」
は間違い。
「集合と仮定すると矛盾するものは真クラス」
が正しい。
君、矛盾って分かる？　数学は矛盾したらおしまい。あらゆる定理が無意味になるから。

>（∵無限集合が作れない）
無限公理は無限集合を作りません。それは素人の誤解。
無限公理は（ある）無限集合の存在を主張している。

>　普通に無限公理を持つ通常のノイマン宇宙V内では
それも誤解。
Vは理論ではないから無限公理を持つとか持たないとかという主張は意味をなさない。

>ωが存在して 集合として扱える（無限公理よる）
大間違い。
V内にωが存在する理由はVが整礎集合全体のクラス且つωが整礎集合だから。
無限公理が理由では断じてありません。
君、さんざん言われてるが、理論とモデルを混同してますよ。

>２）いまグロタンディク宇宙で 到達不能基数選択に自由度があるので κ+1を考え
はい、大間違い。
κ+1をκの後続順序数として見ても後続基数として見ても到達不能基数ではありません。到達不能基数の定義に反しますから。
語感頼りで妄想に任せるから間違うのです。定義を確認して下さいね。

> Vκ+1の中には κが存在すると仮定する
事実を仮定する必要無し。

>　さらに、ZFCでは「全ての概念は 集合に置き換えられるべき」ことを思い出そう。基数も集合なり
>　下記の基数 フォン・ノイマンの割り当て により ある基数κが存在するとは それ未満の全ての基数と順序数を含む大きな集合κの存在を意味する
なにをいまさら？

>通常のノイマン宇宙V内の
「通常」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。
通常じゃないノイマン宇宙ってどんなノイマン宇宙？って聞かれるよ？　君、答えられる？

>通常の＝到達可能の
はい、馬鹿丸出し。
君、ある到達不能基数より大きい基数はすべて到達不能基数と思ってるでしょ。語感頼りだからそういう妄想に走る。定義を確認してくださいね。

>３）繰り返すが、通常のノイマン宇宙V内の（通常の＝到達可能の）全ての基数と順序数を含む巨大集合κの存在を意味する
繰り返すが、ノイマン宇宙V内にはすべての基数がある。よって「V内のすべての基数と順序数を含むもの」とは順序数全体のクラスそのものだよ。断じて特定の基数ではない。
語感頼りで妄想に走るから何重にも間違う。

>　そして そういう巨大なκを含む宇宙内において さらに ZFCの公理を使って べき集合や和など 通常のVにおけると同様の集合演算がを尽くされる　それが 宇宙 Vκ+1
君、Vの定義を知らないの？ Vκ+1:=2^(Vκ)。
定義を知らないなら確認しよう。口から出まかせに妄想語っても仕方無いことを知ろう。
　
>　ゆえに 記号の濫用で V⊂Vκ+1、 Vκ+1＝Uとして V⊂U■
大嘘。
VとはすべてのV階層の総和だから当然Vκ+1⊂V。
κが強到達不能基数のときκ+1は（κの後続順序数としてもκの後続基数としても）強到達不能基数ではないから「任意の宇宙 Uに対して、c(U)は強到達不能となる」よりVκ+1はグロタン宇宙ではありません。
Vκはグロタン宇宙Uであり上記からU⊂V。
何重にも間違い。

なんでど素人さんは不勉強による誤解・妄想を臆面もなく垂れ流すかなぁ　数学板で発言したいなら少しは勉強しましょうね

ガロアェ…

基礎論スレェ…

>>245
(引用開始)
>>240,242
という話は耳にするんだけれど
具体的にはどんな操作をしたいんだろ？
たとえば
クラスの集まりは考えることが出来ないから
集合の集まりにするとかかと思うけれど
グロタン宇宙Uの部分集合はUの元じゃ無い
（元であるものもあるけれど）
つまりそういうものを考えたら結局Uの外に出てしまう
出てしまっても集合だから考えて問題ないとするんだろうけど
Uで収まらないからもう一段大きいグロタン宇宙考えて・・・
てキリないよね
(引用終り)

正確な話は 私には難しい
なので >>229より 檜山正幸のキマイラ飼育記を引用する

https://m-hiyama.ｈａtenablog.com/entry/20180405/1522890331
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2018-04-05
グロタンディーク宇宙って何なんだ？
"Universes for category theory"の著者ロー〈Zhen Lin Low〉
https://arxiv.org/abs/1304.5227
(google訳)
グロタンディーク宇宙公理は、すべての集合は、それ自体が集合である何らかの集合論的宇宙 U の要素であると主張します。U は「任意だが固定された」宇宙であるため、すべての U 集合の圏や、すべての局所的に U 小さい圏の圏といった実体を扱うことができ、これらの実体にどの集合論的演算を正当に適用できるかを心配する必要はありません。残念ながら、U を変更する可能性を許容するとすぐに、極限や随伴、カン拡張などの普遍的構成が原理的にパラメータ U に依存する可能性があるという事実にも直面しなければなりません。局所的に表現可能な圏間のアクセス可能な関手の随伴（したがって、極限とカン拡張）についてはそうではないことを証明し、「有界」構成は U の選択に依存しないという考えを明確にします。
＜本文＞
https://arxiv.org/html/1304.5227v2
(google訳)
導入
圏論では、一般に「グロタンディーク宇宙」として知られる集合論的な装置を用いると便利な場合が多いが、基数境界や固有クラスなどを含む様々な回りくどい表現を排除して説明や証明を簡略化するために、ここでは単に「宇宙」と呼ぶことにする。アルティンら、1972年（暴露I、§0）では、著者らは次の宇宙公理を採用している。
u 各セットについてx宇宙が存在する𝐔とx∈𝐔。
略
1集合論
略
マックレーン集合論の詳細に興味のある読者は、（マティアス、2001年）しかし実際には、常に何らかの宇宙の中で作業している限り、ZFCで作業しているのと何ら変わりない。実際：
命題1.3。マックレーン集合論の仮定の下では、いかなる宇宙もZFCの推移的モデルとなる。
証拠
略

References
Mac (1998)
Saunders Mac
“Categories for the working mathematician”, Graduate Texts in Mathematics 5
New York: Springer-Verlag, 1998

Mathias (2001)
Adrian.. Mathias
“The strength of Mac Lane set theory”
In Ann. Pure Appl. Logic 110.1-3, 2001, pp. 107–234
DOI: 10.1016/S0168-0072(00)00031-2

>>245
>グロタン宇宙Uの部分集合はUの元じゃ無い
性質 ∀x:(x⊂X⇒x∈X) を満たす集合Xが存在するならカントールの定理 |2^X|>|X| と矛盾する。
x⊂X⇔x∈2^X より、上記性質は 2^X⊂X を意味するから。

>>245
(引用開始)
グロタン宇宙Uの部分集合はUの元じゃ無い
（元であるものもあるけれど）
つまりそういうものを考えたら結局Uの外に出てしまう
出てしまっても集合だから考えて問題ないとするんだろうけど
Uで収まらないからもう一段大きいグロタン宇宙考えて・・・
てキリないよね
(引用終り)

キリが無くはないと思う
というのは グロタンの狙いは 基礎論ではなく
ヴェイユ予想を解決できる 圏論による代数幾何にすぎない
おそらく
集合論論による代数幾何＋α → 圏論による代数幾何
で、チョロと1回グロタンUをもってくれば 終り だと思う？ しらんけど
まあ、下記など（すまん 仏語読める人たのむわ）

（下記を辿ると ”Artin et al. (1972)”に 仏語）
"Universes for category theory"の著者ロー〈Zhen Lin Low〉
https://arxiv.org/abs/1304.5227
＜本文＞
https://arxiv.org/html/1304.5227v2
Introduction
In category theory it is often convenient to invoke a certain set-theoretic device commonly known as a ‘Grothendieck universe’, but we shall say simply ‘universe’, so as to simplify exposition and proofs by eliminating various circumlocutions involving cardinal bounds, proper classes etc. In (Artin et al., 1972, Exposé I, §0), the authors adopt the following universe axiom:

http://cm2vivi2002.free.fr/AG-biblio/AG-100.pdf
Artin et al. (1972)
Michael Artin, Alexander Grothendieck and Jean-Louis Verdier
“Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos”, Lecture Notes in Mathematics 269
Berlin: Springer-Verlag, 1972

ExposéipréfaisceauxparA.Grothendiecket J. L.Verdier (avecunappendicede N.Bourbaki) ................................................................ 1 0.Univers .................................................................. 1 1.U-catégories.Préfaisceauxd’ensembles .................................. 3
略す

>>251
>正確な話は 私には難しい
ど素人の君は口を出さない方が良い　君がすべきは口をつぐんで初歩から勉強すること

>>254
ですね

（無意味なコピペと誤解に固執するのは数学を理解できてないから）

（あと他人の書き込みを引用しても会話になっていない頓珍漢）

>>252
一方でグロタン宇宙Uは推移的集合だから
性質 ∀x:(x∈U⇒x⊂U) を満たす

>>253 補足追加

圏論に詳しい人がいれば 釈迦に説法だが
下記
”アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。
一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた”
”集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。
文献によっては、局所的に小圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。”

つまり アーベル圏・三角圏、トポス・・
ここらが 扱える舞台として グロタンディーク宇宙Uを作ることができれば
「Uで収まらないからもう一段大きいグロタン宇宙考えて・・・」は不要

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
歴史
→詳細は「圏論 § 歴史」を参照
その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。
一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。

圏の大きさ
圏 C が小さい（small) 、あるいは小圏であるとは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ことを言う。小さくない圏は大きい（large）と呼ばれる。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい（locally small）、あるいは局所小圏と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。
文献によっては、局所的に小圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。

実はノイマン宇宙の各階層も推移的集合。
つまり整礎かつ推移的という良き性質を持っている。
無造作な定義のようでいて実際は入念に設計されている。

>>259
>圏論に詳しい人がいれば 釈迦に説法だが
ぜんぜん懲りなくて草

>>259
>アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった

１）下記 斎藤 毅先生 グロタンディークが、Tohoku 1957年辺りから 圏論を使って 代数幾何の理論を発展させた
　アーベル圏の理論を構築することで鮮やかに解決したのが、Tohoku である という
　だが、ja.wikipedia ”環の圏 Ring 全ての単位的環 全ての単位的環準同型 写像の合成 大きい”とある
２）だから、ZFCでは狭いから グロタンディク宇宙へ広げて その中で議論しようとした
　この話は、前世紀に解決済み

あとは、>>253 Artin et al. (1972) http://cm2vivi2002.free.fr/AG-biblio/AG-100.pdf
Saunders Mac “Categories for the working mathematician”, Graduate Texts in Mathematics 1998
とか読めば良いだけ。倒錯の議論に付き合う必要ない
（グロタンディク宇宙が ノイマン宇宙の中？ｗ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
例
以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。
環の圏 Ring 全ての単位的環 全ての単位的環準同型 写像の合成 大きい

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/j-index.html
斎藤 毅
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
和文出版リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf
グロタンディーク 斎藤　毅 (数学セミナー2010年5月号)
Tohoku
これは、東北大学の「東北数学雑誌」で 1957年に出版された “Sur quelques points d’algèbre homologique（ホモロジー代数のいくつかの点について）” の通称である。専門家なら、Tohoku 大学がSendai にあることなど知らなくても、グロタンディークのTohoku で通じてしまう。 この論文では、層、圏、コホモロジーという、20 世紀の抽象数学の特徴的な問題が扱われている。これらは、グロタンディーク以前に、ルレー、カルタン、アイレンバーグ、マックレインといった人たちによって、導入され研究されていた。しかし、この論文によって、これらの理論が一新されたといってよいだろう。

19 世紀のリーマンに由来する、空間とは何かという問いには、このときまでに、局所環つき空間とよばれる、環の層のついた位相空間である、という答えが、カルタンにより与えられていた。しかし、そのような空間を調べるための基本的な道具である層係数コホモロジーについては、実多様体のような局所コンパクト空間についてはともかく、一般の位相空間でどう扱えばよいのか、わかっていなかった。

これを、アーベル圏の理論を構築することで鮮やかに解決したのが、Tohoku である。これは、スキームの理論の基礎を与えるとともに、のちのエタール・コホモロジーへの道を開くものでもあった。これものちの話になるが、コホモロジー群よりも、そのもとになる複体を重視する導来圏のアイデアも、グロタンディークによるものである。導来圏は、最近はミラー対称性の研究でもでてくるそうである

>>262
ついでに
付録貼る

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/sample_ja.pdf
エタール・コホモロジーをめぐって斎藤　毅 （日本数学会2026年度秋季総合分科会　企画特別講演 (2026/09/03)
エタール・コホモロジーの理論がSéminaire Géométrie Algébrique du Bois-Marie (SGA4) [1] で 1963-64 年に体系的に展開されてから60年以上がたちました．それ以来，エタール・コホモロジーは数論幾何の基本的な対象として研究されてきました．ここではCorrespondance Grothendieck–Serre [9]（英仏２言語版もあり）などからその歴史を振り返り，最近の発展まで紹介します．

>>262
>倒錯の議論に付き合う必要ない
そもそも議論なんてしていない。君の妄想が大間違いである事実を教えてあげてるに過ぎない。
倒錯してるのは勉強嫌いで基本的なことも分かってない君。

>（グロタンディク宇宙が ノイマン宇宙の中？ｗ（＾＾）
まだ分からんの？　てかノイマン宇宙の定義確認した？　モデルの定義確認した？　「集合は真クラスを元として持てる」なんて公理は存在しないことは確認した？
そんなに勉強が嫌なら数学なんてやめなよ

>>263
いくらペタペタコピペ貼っても、基本的なことを分かってないから無意味

君、ノイマン宇宙はZFCで存在証明できる集合だけからなると思ってるでしょ。それが既に誤解なの。
君は集合論・基礎論の初歩の初歩も分かってないんだからいくらコピペしても無意味なの。分かる？

論理や言葉として目に見える部分によって会話が進まないなら、それらに注目するのはやめて、動機や背景にフォーカスした方がよいだろう。

根っこは皆、平等なんだよ！

情報として読めないものは感情として読むとわかりやすいと思う。
コミュニケーションでやり取りするものは「情報」「感情」の2つに分けられるらしいから。

論理と欲求と言ってもいい。

陰キャは論理・情報の形式で感情・欲求まで表す
陽キャは感情・欲求の形式で論理・情報まで表す
のかもしれない。
より慣れている方の表現形式で語ろうとするのかもしれない。

受け取る側はそんな捻れなど知る由もなく、単純に表現形式から自動的に「情報」か「感情」か仕分けている気がする。
全てではないにしろ、多くの場合このズレによってコミュニケーションが失敗するのかもしれない。

初歩の初歩から分かってないことをコミュニケーションのせいにしてごまかそうとしても無駄
単に勉強が圧倒的に足りてない、それだけの話

ガロア理論の話

コミュニケーションマンw

>>274
◆yH25M02vWFhP は
ガロア第一論文で叩く作戦に失敗したので
ガロア理論戦線から撤退したようだ

>>243
>Vω内には 無限公理が無いので 集合ωは、存在しない
>（無限公理なしでは ωは集合でなくクラス（∵無限集合が作れない））
>普通に無限公理を持つ通常のノイマン宇宙V内では
>ωが存在して 集合として扱える（無限公理による）

「無限公理を持つ集合論ではωが存在する」は真だが
「無限公理を持たない集合論ではωが存在しない」は偽

ωが存在しない集合論は”反無限公理”を持つ集合論

反無限公理とは、無限公理の否定
つまり無限基数の不在公理

無限公理を持たない集合論には
無限公理も反無限公理も設定できる

同様に
「到達不可能基数の存在公理をもつ集合論では到達不可能基数が存在する」は真だが
「到達不可能基数の存在公理をもたない集合論では到達不可能基数が存在しない」は偽

到達不可能基数が存在しない集合論は”到達不可能基数の不在公理”を持つ集合論

ZFCには
到達不可能基数の存在公理も
到達不可能基数の不在公理も
設定できる

つまり自明でないグロタンディク宇宙をUとすると
Uを持たない宇宙Vも
Uを持つ宇宙Vもある

前者の例は最小の到達不可能基数をκとしたときのVκ
後者の例はκ＜λであるような到達不可能基数λについてのVλ

VκはVκ自身を集合として持たないが、
VλはVκを集合としてもつ

>>251
>正確な話は 私には難しいので
>…の…を引用する

自分に理解できないことを
他人の発言の引用で誤魔化してるうちは
決して理解に到達しない

ガロア理論然り
グロタンディーク理論また然り

>>253
>おそらく
>集合論による代数幾何＋α → 圏論による代数幾何
>で、チョロと1回グロタンUをもってくれば 終り
>だと思う？ しらんけど

単純に通常の集合論における宇宙を集合として実現すれば
圏論を集合論の中で実行できる、というだけの他愛ない話

>>259
>圏論に詳しい人がいれば 釈迦に説法だが

>>279に書いたことがすべて

>>262-263
>ZFCでは狭いから グロタンディク宇宙へ広げて その中で議論しようとした
>この話は、前世紀に解決済み

実際は大きな圏を直接扱わなくてもいいので
その話は、そこまでやる必要はない

>グロタンディク宇宙が ノイマン宇宙の中？

「ノイマン宇宙」と言う言葉で
「いかなる集合論の宇宙も含まない最小（？）の宇宙」を表すのが誤り

あと、自分が理解できないことを
他人の発言の引用で誤魔化してるうちは
決して理解に到達しない

>>277
(引用開始)
「無限公理を持つ集合論ではωが存在する」は真だが
「無限公理を持たない集合論ではωが存在しない」は偽
ωが存在しない集合論は”反無限公理”を持つ集合論
反無限公理とは、無限公理の否定
つまり無限基数の不在公理
無限公理を持たない集合論には
無限公理も反無限公理も設定できる
同様に
「到達不可能基数の存在公理をもつ集合論では到達不可能基数が存在する」は真だが
「到達不可能基数の存在公理をもたない集合論では到達不可能基数が存在しない」は偽
到達不可能基数が存在しない集合論は”到達不可能基数の不在公理”を持つ集合論
ZFCには
到達不可能基数の存在公理も
到達不可能基数の不在公理も
設定できる
つまり自明でないグロタンディク宇宙をUとすると
Uを持たない宇宙Vも
Uを持つ宇宙Vもある
(引用終り)

長文引用ご容赦
さて
１）ユークリッド幾何と射影幾何の話に置き換えてみよう
　ユークリッド幾何に 無限遠点を導入したのが 射影幾何だ
２）普通は、無限遠点を導入しない限り
　ユークリッド幾何内には無限遠点が存在しないとするのがデフォルト
３）と同様に、普通のZFCで作られるモデル内では
　（強）到達不能基数は存在しないのがデフォルト

上記長文引用した部分は、ある意味は正論だが
ある意味、デフォルトを無視した議論にすぎない■

（公理を加えるとはどういうことかを理解していないのか）

>>220
>Q（√（2+√5））はQ上のガロア拡大ではない。

私は、あまりQには答えない主義だが
中高生向けの参考に、下記など

即ち、ガロア拡大とは？
下記 「ガロアの最後の手紙--シュヴァリエ宛の手紙--」にあるとおり
（既約）代数方程式の根を全てく添加した場合だ
（つまり群の固有分解が成り立つ場合：いまの群論では正規部分群という概念で説明している）

追加説明
１）x=√（2+√5）→x^2=2+√5→x^2 -2 =√5→(x^2 -2)^2 =5→x^2 -2x -1 =0 となる
２）つまり x=√（2+√5）は、方程式 x^2 -2x -1 =0 の根の一つ
　この4つの根を全て添加した場合がガロア拡大
（実際 4つの根中に虚数根があるので √（2+√5）だけでは不足することが分る）

(参考)
https://www.seki-kowa.org/
関孝和研究所
https://www.seki-kowa.org/b9bcaa419ab5f5bf3be834ac073dbecb
上野健爾（所長）
第20回のSKIMレクチャーを以下の要領で開催します．
2026年 3月15日
上野健爾氏
「ガロアの最後の手紙--シュヴァリエ宛の手紙--」を読む
https://www.seki-kowa.org/wysiwyg/file/download/30/60
P8
ガロアの手紙
第一論文は既に書いた．ポアソンの所見にもかかわらず，
若干の修正をした上でそのままにしておく．
第二論文は方程式論への非常に興味深い応用を含んでいる．
ここに，いくつかのきわめて重要な事柄の要点を書き留め
ておく．
1◦第一論文の主張II とIII によれば，方程式に補助方程式
の一根をつけ加えることとすべての根をつけ加えることと
では大きな違いがあることが分かる．
　両者の場合とも根をつけ加えることによって方程式の群
は一つの同じ置換を施すことによって一方から他方へ移り
合うようなグループに分解する．しかし，これらのグルー
プが同じ置換を有しなければならないという条件は(すべて
の根をつけ加える) 二番目の場合以外では成り立たない．こ
の(条件が成り立つ) 場合は固有分解と呼ぶ．

P9
　言い換えると群G が群H を含んでいる場合，群G はいく
つかのグループに分解される．それぞれのグループは一つ
の同じ置換をH の順列に施すことによって得られ，
G = H + HS +HS′+・・・
と分解される．またそれは
G = H + TH +T′ H +・・・
と同じ置換からなるグループに分
解される．この二種類の分解は通常は一致しない．両者が
一致するとき分解は固有であると言われる．

>>282
>（公理を加えるとはどういうことかを理解していないのか）

倒錯 (ですね)人か
（公理を加えていないとはどういうことかを理解していないのか）

ZF公理系
と
ZFC公理系
との差

？ まさか差が無いとでも？（＾＾

彼の人の言うユークリッド幾何に当たるのは
ZFC+V=L
だと俺は思うな
GCHも出るから実数の中によく分からん集合（A::|Q|<|A|<|R|）はないことになってスッキリ（オレが）
ZFC+V=Lでも宇宙公理Uは成立するらしいから
それも排除した
ZFC+V=L+¬U
がオーソドクスであるべきかも知らん
やっぱ
U×U⊂U
の成り立つような集合はない方がスッキリする（オレが）

（どこまでも頓珍漢なのだなあ）

ZFC+V=LのモデルLでもZFC+¬GCHのモデルをLの中に作れるらしい（ホントかな？）
その中ではもちろん包含関係の意味が変わるけれど
それはユークリッド幾何のモデルであるR^2の中に
双曲幾何のモデルであるポアンカレ円盤（エッシャーの絵で有名よな）を想定できるようなものかな？
あるいは射影平面を円盤の周の同一視で表すようなものなのかも

>>279
Cat（小圏の圏）の中だけで圏論を考えるといろいろ面倒が無くなりそうではあるけれど
実際に何が面倒なのかというのが>>245
に書いたオレの疑問

>>283
Qにお答え頂き、ありがとうございます(^^)

>>277
>無限公理を持たない集合論には
>無限公理も反無限公理も設定できる
>同様に
>ZFCには
>到達不可能基数の存在公理も
>到達不可能基数の不在公理も
>設定できる
実は強到達不能基数の定義から非可算の条件を外すとωは強到達不能基数。
そのとき無限公理とは「可算な到達不可能基数の存在公理」に他ならない。

>つまり自明でないグロタンディク宇宙をUとすると
>Uを持たない宇宙Vも
>Uを持つ宇宙Vもある
>前者の例は最小の到達不可能基数をκとしたときのVκ
もしVがノイマン宇宙を指してるならVはすべてのV階層の総和だからVκ∈V

>後者の例はκ＜λであるような到達不可能基数λについてのVλ
Vκ∈2^(Vκ)=Vκ+1（κ+1はκの後続順序数（後続基数ではなく））だから、λは到達不能基数である必要は無い。但し上記同様 Vκ+1∈V。

>>289
>Qにお答え頂き、ありがとうございます(^^)

どうもです
ガロア拡大の正式定義は下記だが（これ読んでスラと分る人は ガロアをかなり勉強している）
なお、最後のマスタノさん、分かり易いかも

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8B%A1%E5%A4%A7
ガロア拡大
ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) による固定体（英語版）がちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である[1]。
エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。
ガロア拡大の特徴づけ
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各条件は E/F がガロア拡大であるという条件と同値である。
略
https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_extension
Galois extension

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96/Galois%E6%8B%A1%E5%A4%A7
ガロア理論/Galois拡大 wikibooks

https://mathtano.com/galois-extension/
マスタノ！〜数学の楽しみ方〜
ガロア拡大とガロア群を具体例で分かりやすく
2023年12月24日

>>281
>３）と同様に、普通のZFCで作られるモデル内では
>　（強）到達不能基数は存在しないのがデフォルト
ZFCで存在を証明も反証もできない集合はZFCのモデル内に存在してもしなくても良い。”デフォルト”は君の感想に過ぎない。
それで、君、V⊂U なる持論を撤回したの？　「デフォルト」でごまかしてるってことは。

>>283
>私は、あまりQには答えない主義だが
君、Qどころか、自分が言ったことの具体化要求にも答えないじゃん
具体化できないってことは自分が何を言ってるかすら分かってないってことだよ

>>288
>Cat（小圏の圏）の中だけで圏論を考えるといろいろ面倒が無くなりそうではあるけれど
>実際に何が面倒なのかというのが>>245
>に書いたオレの疑問

すまん AIさんに カンニング（下記）
だいたい合ってそうなので ご参照

で、以下は正確には未検証だが、
ノイマン宇宙Vままだと 宇宙が狭い。Vの外に出ると そこは集合ではなく クラス（類）になる
グロタンディク宇宙Uは、Vを広げて Vならクラス（類）になる対象を包含できるようにする
後世の人「おまいら それ 到達不能基数の議論と同値じゃん」と指摘したらしい

あとは、各自チャッピーさんとかに聞いて

(google検索)
圏論 局所スモールの良いところは何？
＜AI による概要＞
圏論において、局所的にスモール（locally small）であることの最大のメリットは、任意の2つの対象の間の射の集まりが「集合（Set）」になり、集合論の強力な道具を自由に使えるようになることです。圏論では、すべての対象の集まりや、すべての射の集まりは大きすぎて「集合」ではなく「クラス（類）」になってしまうことがよくあります。しかし、局所的スモールという制約を置くことで、対象同士の繋がり（射）を扱う部分に安全な基盤が生まれます。局所的スモールであることの具体的なメリットは以下の通りです。

1. ホム集合（Hom-set）が定義できる
略

2. 表限表現や米田の補題（Yoneda Lemma）が使える
略

3. 一般随伴関手定理（GAFT）などの重要な定理が成り立つ
略

4. 数学に登場する主要な圏のほとんどをカバーできる
略

局所的スモールについて、さらに具体的な米田の補題への応用や、スモール（small）な圏との違いなど、詳しく知りたい部分はありますか？どのあたりに興味があるか教えていただければ、さらに掘り下げて解説します！

>>292
(引用開始)
>>281
>３）と同様に、普通のZFCで作られるモデル内では
>　（強）到達不能基数は存在しないのがデフォルト
ZFCで存在を証明も反証もできない集合はZFCのモデル内に存在してもしなくても良い。”デフォルト”は君の感想に過ぎない。
それで、君、V⊂U なる持論を撤回したの？　「デフォルト」でごまかしてるってことは。
(引用終り)

良い質問ですね by 池上さん（＾＾

まず、マクラ
その話は 下記の ヴィタリ集合で
「ロバート・ソロヴェイは、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した」
の類似
en.wikipedia
”サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果を、到達不可能な基数に関する仮定なしに確立することは不可能であることを証明した”
この部分の基礎論的の正しい解釈は、私には難しいが あえて述べれば
到達不能基数という蓋をつけた宇宙では、ZF-C（選択公理) + (代わりに 従属選択公理 追加）では、Vitali set 不可
（要するに 蓋なしでは 絶対”Vitali set 不可”の証明ができない）
（マクラ終わり）

さて、この類似で 無限公理を考えると
ZF-（無限公理なし） vs　ZF+（無限公理あり）
注：記号 ZF-、 ZF+ はそれぞれカッコ内の意味とする

ZF+が普通のZFだ
が ZF- 内に 無限集合ω(＝N 自然数の集合）は、存在しないのか？ 存在してはいけないのか？
神様は、存在してはいけない とは言わない。「無限公理追加が無矛盾なら 許す」だろう
さて、数学者は？ 「証明できない 無限集合ωは 数学者としては困る。無限公理は必須。それが人間の数学ぞ」と（＾＾

要するに、ZF-（無限公理なし）について 普通の数学者は 証明できない無限集合ωは 存在しないと 普通は言うだろう
神様は、「無限公理追加が無矛盾なら どっちもあり」

同様に、普通のZFCで作られるモデル内では
到達不能基数は証明できない。ゆえに 証明できない以上 勝手な到達不能基数を証明ずみとしては 数学理論にならん
到達不能基数を考えたい人は 公理として追加せよ！
かつ 到達不能基数未満 つまり 到達可能基数だけの宇宙もあって良い
（議論の都合で 一番小さい部分に限定することはよくある）

まあ、そういうことです

つづく

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。
それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
(google訳)
選択公理の役割
上で述べたヴィタリ集合の構成は選択公理を用いている。ここで疑問が生じる。選択公理は、ルベーグ可測でない集合の存在を証明するために必要か？答えはイエスである。ただし、到達不可能な基数が、集合論の最も一般的な公理系であるいわゆるZFCと矛盾しないことが前提となる。

1964年、ロバート・ソロベイは、選択公理のないツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築し、すべての実数集合がルベーグ可測であるとした。これはソロベイモデルとして知られている。[ 3 ]ソロベイは証明の中で、到達不可能な基数の存在はツェルメロ・フレンケル集合論の他の公理と矛盾しない、つまり矛盾を生じさせないと仮定した。この仮定は集合論者の間で広く正しいとされているが、ZFCだけでは証明できない。[ 4 ]

1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果を、到達不可能な基数に関する仮定なしに確立することは不可能であることを証明した。[ 4 ]
(引用終り)
以上

>>294
>ノイマン宇宙Vままだと 宇宙が狭い。
まだ分かってないｗ　
Vは整礎な集合論の宇宙であり、その性質の中で最大限広い。
Vがカバーしていないのは非整礎な集合論のみ。Vの中にx={x}を満たすxは存在しない。

>Vの外に出ると そこは集合ではなく クラス（類）になる
Vは集合でなく真クラス。
仮にVが集合なら、集合2^Vが存在し、Vが整礎だから2^Vも整礎、よって 2^V⊂V でなければならずカントールの定理と矛盾。

>グロタンディク宇宙Uは、Vを広げて Vならクラス（類）になる対象を包含できるようにする
Vは整礎集合全体のクラスだからその性質を保って広げようが無い。
Vはクラスだから真クラスを元として持たない。
整礎なグロタン宇宙は整礎集合全体のクラスであるVの元。

君、めちゃくちゃだね。まるで分かってない。

>>297
ですね
彼の人は宇宙とは何かをずっと誤解しています
さらに公理系と混同もしてますね

体Lが体Kの3次拡大体で、αと2αがLの0でないK上共役の元であれば、Lの標数は7となる。

公理を加えても存在するとして良い元（集合）は増えない
それは公理系を充たすのがモデルの定義だから
ある公理系を充たすモデルがあるとき
そこからある程度の公理を外してもそのモデルは
公理が少なくなった公理系のモデルのまま

>>207
(引用開始)
別に アルティン ガロア本の まえがきに
「ノートルダム大学 夏期学校 講義ノートに Milgram氏が 応用に関する付録を書き加えたもの」
「講義の目的は、代数学に関して 僅かな予備知識しかもたない学生に対して、ごく短期間にガロア理論の方法と問題点を知らせることにあった」
と記されている
(引用終り)

これ今頃気付いたが
普通は 冒頭あたりに来る 群の定義について
はっきりした記述がない
群指標あたりにチョロとあるくらい

”Milgram氏が 応用に関する付録”は、第三章だ
”夏期学校 講義ノート”は、第一章、第二章
どういうスケジュールだったか不明だが
午前と午後の二コマ 10日で20コマ？
もっと少ないコマ数かも
まあ、群論は具体的な置換で流せば可かも
（ガロア時代は それだった）

代わりに 線形代数でガッツりか
因みに 秋月・鈴木の 岩波「高等代数学1」下記の前書きに
（これ 大学入学前に読もうとしたが読めなかった記憶あり）
アルティンの講義録が手に入った それを見たら 原稿を書き直したいと思ったが
出版作業が進んでいたので 断念みたく書いてあったな

プロが見れば アルティンの名人芸 珠玉の講義録かもしれないが
こちらから見れば 囲碁の名局を並べる如しで、
あまりにすっきりし過ぎると 一回では良さが分らない
（いまでも 秋月先生が感じたようには いかない（＾＾）

＜アマゾン＞
高等代数学〈第1〉 (1952年) (岩波全書)
レビュー
ido
星5つ中3つ代数系：群・環・体の学習書
2019年4月19日
1・2の2巻本として書かれた代数系の本のうちの上巻
内容：この巻だけで現代の一般的な(=数学科2年生+3年生ぐらい向けの)代数の教科書に近い。もう少し細かいコトまで解説されている
必要な経験：線形代数。もちろん最初にマトメはしてくれるけど、自由自在に使えるようになっておいた方がいい
読み方：読みながらたくさん計算しないといけないので、計算が嫌いな人には向かないかも。ていねいに読み切りたいんなら2年生と3年生の2年間ぐらいは必要
○例題・章末問題：まったく載っていません
○旧漢字が使われているけどひるまないコト。かな遣いや文体については現代のと同じ
○図解：あるけど少ない(全体で数点ほど)
目次
1　序論　41ページ。基本的に学習の準備のためのおさらいだけど、整域、商体、合同、p元体、自由加群、超限帰納法など本ネタも満載なので読み飛ばさないコト(というかここだけ1年かけて読んでもいいかも)
2　作用域をもつ群　43ページ
3　群論　53ページ。コホモロジ群も登場
4　体の理論　70ページ。ガロワの対応の基本定理の証明とその少し先(クンマー体とか)まで
5　補遺　12ページ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%8B%E6%9C%88%E5%BA%B7%E5%A4%AB
秋月 康夫（1902年8月23日 - 1984年7月11日）は、日本の数学者。京都大学名誉教授[
自身の研究室から2人のフィールズ賞受賞者（広中平祐、森重文）を輩出している

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%88%B4%E6%9C%A8%E9%80%9A%E5%A4%AB
鈴木 通夫（1926年10月2日 - 1998年5月31日）は、日本の数学者。イリノイ大学教授。専門は群論。鈴木群（英語版）で知られる

人の批判は無視して突っ走れるのに、面接では開き直れないの？

恋愛とかも。
今みたいに開き直って確率狙えばいいじゃない。

ガロアの夢でも読んで、ここに書けばw

>>295
>ZF+が普通のZFだ
>が ZF- 内に 無限集合ω(＝N 自然数の集合）は、存在しないのか？ 存在してはいけないのか？
>神様は、存在してはいけない とは言わない。「無限公理追加が無矛盾なら 許す」だろう
神様を持ち出してごまかそうとしても無駄。
V⊂U なる持論を撤回したのか否か答えよ。

>さて、数学者は？ 「証明できない 無限集合ωは 数学者としては困る。無限公理は必須。それが人間の数学ぞ」と（＾＾
大嘘。
嘘でないと言うならそう言っている数学者名を例示してみて。
君、嘘はつかない方がいいよ。すぐにバレるんだから。

>要するに、ZF-（無限公理なし）について 普通の数学者は 証明できない無限集合ωは 存在しないと 普通は言うだろう
大嘘。
嘘でないと言うならそう言っている数学者名を例示してみて。
君、嘘はつかない方がいいよ。すぐにバレるんだから。

>神様は、「無限公理追加が無矛盾なら どっちもあり」
神様を持ち出してごまかそうとしても無駄。
V⊂U なる持論を撤回したのか否か答えよ。

>同様に、普通のZFCで作られるモデル内では
>到達不能基数は証明できない。
また理論とモデルを混同している。君も不勉強だねえ。

>ゆえに 証明できない以上 勝手な到達不能基数を証明ずみとしては 数学理論にならん
大間違い。
数学は（きちんと断る限り）いかなる仮定をしても良い。〇〇の仮定はご法度なんて不自由は数学には無い。

>到達不能基数を考えたい人は 公理として追加せよ！
君、公理とは仮定であること理解してないでしょ

>かつ 到達不能基数未満 つまり 到達可能基数だけの宇宙もあって良い
はい、大間違い。
「κは到達不能基数かつλ<κ⇒λは到達不能基数でない」は言えません。

>（議論の都合で 一番小さい部分に限定することはよくある）
そんなのは宇宙の定義しだいで語るに及ばず。

>まあ、そういうことです
どういうこと？　君、何か１ミリでも価値のあること語ったつもりになってる？

有限体は代数的閉体ではない。

（存在しないと証明するには公理の否定が必要だとは思わないみたい）

>>298
◆yH25M02vWFhPは、
「命題Ｐが証明できない」と
「命題Ｐから矛盾が導かれる」を
混同している

無限公理が他の公理から証明できない、からといって
無限公理と他の公理から矛盾が導けるわけではない

つまり、集合論の他の公理から無限公理の否定は導けない

したがって、無限公理を設定してない集合論で無限基数が存在してもいい

ZFCで到達不可能基数が存在しててもいいのと同じこと

>>308
＞存在しないと証明するには公理の否定が必要だとは思わないみたい

高卒レベルだと数学を論理で一切考えない人もザラにいます

計算手法の総体が数学、みたいな

定石の総体が囲碁将棋、みたいな軽薄な発想

矢倉91手定跡

矢倉は終わったw

矢倉さん

RはZFですでにP(Q)の部分集合として定義されている
しかし
|N|<|A|<|R|であるAが存在してもいいし存在しなくてもいい
存在しないとするにはCH
存在するとするには¬CH
を公理として必要とする（これは同値）
OrdはZFCですでにVの部分クラスとして定義されている
しかし
強到達不能基数κが存在してもいいし存在しなくてもいい
存在するとするにはUが公理としてあればいい
（こちらは同値ではなさそう）
U::∀α∈Ord,∃κ:強到達不能:α<κ

5次方程式の5つの解のうち1つが得られれば
他は解の置換の反復で生成できるとする

この時解の1つをαとし置換をσとすれば
5の解はα,σ(α),σ^2(α),σ^3(α),σ^4(α)を表せる
（なおσ^n(α)は、σ(…(n回)…σ(α))を表す）

σ^5(α)＝αとなるとする

さてこのとき、1の5乗根をωとして以下の⓪〜�Cの5の式を考える

⓪ = α + ωσ(α) + ω^2σ^2(α) + ω^3σ^3(α) + ω^4σ^4(α)
�@ = σ(α) + ωσ^2(α) + ω^2σ^3(α) + ω^3σ^4(α) + ω^4α
�A = σ^2(a) + ωσ^3(α) + ω^2σ^4(α) + ω^3α + ω^4σ(α)
σ^3(a) + ωσ^4(α) + ω^2α + ω^3σ(α) + ω^4σ^2(α)　�B
σ^4(a) + ωα + ω^2σ(α) + ω^3σ^2(α) + ω^4σ^3(α)　�C

�@〜�Dの関係は以下の通り
α + ωσ(α) + ω^2σ^2(α) + ω^3σ^3(α) + ω^4σ^4(α)
=ω (σ(α) + ωσ^2(α) + ω^2σ^3(α) + ω^3σ^4(α) + ω^4α)
=ω^2 (σ^2(a) + ωσ^3(α) + ω^2σ^4(α) + ω^3α + ω^4σ(α))
=ω^3 (σ^3(a) + ωσ^4(α) + ω^2α + ω^3σ(α) + ω^4σ^2(α))
=ω^4 (σ^4(a) + ωα + ω^2σ(α) + ω^3σ^2(α) + ω^4σ^3(α))

⓪＝ω�@＝ω^2�A＝ω^3�B＝ω^4�C

そして
⓪^5=�@^5=�A^5=�B^5=�C^5
となる

したがって⓪^5は解α~σ^4(α)はまったく現れない
（基礎体を保つ自己同型変換の不変元だから基礎体)

そして、解は基礎体に、
⓪^5の5乗根（要するに⓪）
を付け加えた体の要素として表せる

具体的には、解αは、基礎体の要素をc0~c4とすると
α＝c0+c1⓪+c2⓪^2+c3⓪^3+c4⓪^4
の形で表される

>>306
>”公理を加えても存在するとして良い元（集合）は増えない”
>の反例を挙げよう
>　１）無限公理がないと 最初の可算無限集合ω＝N が作れない
反例になってない。
ZF-(無限公理)からωの存在を証明できないことと、そのモデルにωが存在してよいことは矛盾しない。
以前から何度も指摘されてるが、君、理論とモデルがまったく分かってない。

>　２）選択公理の場合
>　可算選択公理＜従属選択公理＜（フルパワー）選択公理
>　ここに 記号＜は 強さの順
>　いま、各選択公理の強さが、出力できる列長さで測れるとする
>　つまり、可算選択公理は、可算長ω長さの列
>　（フルパワー）選択公理は、無制限（非可算長も可）
>　従属選択公理は、ωより長く 非可算長には届かない
大嘘。
「従属選択公理 ― 任意の空でない集合Xとその上の全域二項関係 Rに対して、列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる。」
だから、従属選択公理が出力する列は可算長。

>　この場合において 可算長有理コーシー列で 実数Rの定義で 完備距離空間Rを作ることを考えると
>　（フルパワー）選択公理なら可。従属選択公理も 可
>　だが、可算選択公理だと ”完備”が証明できない（？）
大嘘。
有理コーシー列を用いた実数の構成に選択公理は不要。完備性証明にも不要。

>　まったく なんらの 選択公理を仮定しないなら？ そもそも 可算長有理コーシー列が 作れないだろう
大嘘。
有理数全体の集合Qまでを構成済みなら、有理数列全体の集合Q^Nが存在し、有理コーシー列全体の集合はその部分集合。

>まとめると、
嘘をまとめても嘘だから無駄。

>公理には積極的に公理を作るためのもの（上記）もあれば、
>抑制するものもある
>抑制する公理の代表例が 正則性公理だろう
はい、大嘘。
公理とは仮定に過ぎない。何かを作るための道具ではない。

>>305 補足
>さて、数学者は？ 「証明できない 無限集合ωは 数学者としては困る。無限公理は必須。それが人間の数学ぞ」と（＾＾

下記ご参照

数学では
定理とは、証明できるもの
公理とは、証明できないもの というか 証明できないが 数学者共通の議論のため
公理と認めて 数学をやろうということだ

下記 安藤哲哉
公理5.(無限公理) これは、他の公理から 導けない

（正確には 無限を導く公理で これ以外の公理系もありだろう。だが、多分 汚くなる。”汚くなる”と 「それ 無矛盾なのか？」の突っ込みに答えられないだろう（ゲーデル不完全性定理）
だから、普通の数学者は 既存の無限公理 を流用して使う。
使われ 手垢がついている分 安心。いままで 使われてきて破綻していないのだから）

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
安藤哲哉
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/LectureNote.html
講義ノート 千葉大で講義ノート
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/KISO2.PDF
数学の基礎II講義ノート安藤哲哉
P7
公理5.(無限公理) 次の条件(1), (2)を満たす集合 Aが存在する．(1) φ ∈ A. (2) x ∈ A ならば x∪{x}∈A.公理3から1個の元からなる集合{a}も，2個の元からなる集合{a,b}も存在する．公理4を合わせると3個の元からなる集合{a,b,c}も存在することがわかり，1個の元を付け加えることを繰り返すと{a1, a2,..., an} というn個の元からなる集合が存在することがわかる．無限公理も分かりにくいとおもうが，φを0と考え，x∈Aのときx∪{x}をx+1と考える(x+1の定義だと考える)ことにすれば，Aは0以上の整数をすべて含む集合である．無限集合Aが存在することを主張している公理であって，自然数全体の集合Nが存在することを保証する公理である．

余録
https://youtu.be/U0BGmKdCzak?t=1
有限集合・無限集合の定義【選択公理】
alg-d
2023/12/26

>>316
>抑制する公理の代表例が 正則性公理だろう
だから非整礎集合の非存在を証明するには正則性公理が必要だろ？正則性公理無しでは存在も非存在も証明できない。
まったく同じで無限公理無しではωの存在も非存在も証明できない。証明できないのに非存在とする君が間違い。
理論から存在も非存在も証明できない集合はそのモデルに存在してもしなくても良い。
モデルが分かってない。さんざん言われてるのに頑なに勉強しない。

>>309
>したがって、無限公理を設定してない集合論で無限基数が存在してもいい
>ZFCで到達不可能基数が存在しててもいいのと同じこと

到達不可能基数と 無限公理とを対比して論じたのは 私だが
到達不可能基数と 無限公理には 大きな違いがある

つまり 無限の概念は 古代インドあたりから有ったと言われる
無限を 公理的集合論に取り込むのは 必須要件だった
（そもそも カントールの素朴無限集合論を救うことが 公理的集合論の使命）

一方 到達不可能基数は、最初に考えたのはバナッハさんらしい（何かに書かれていた）
無限のアナロジーだろうか 可算無限集合のべきを 超限回とっても 到達できない

さて、上記
”ZFCで到達不可能基数が存在しててもいい”＝無矛盾 だね
ここは 重要ポイント
そして 上記のように 「可算無限集合のべきを 超限回とっても 到達できない」だと
当たり前に 普通のZFCでは 到達できない（そういう定義だからね）
ゆえに 到達不可能基数の存在は、公理として 与えるしかない
さて そんなことをして 大丈夫か？ 矛盾しないの？ が、その証明はない（不完全性定理）

まあ、いろんな基礎論屋さんが 到達不可能基数を扱って
まだ 矛盾は見つかっていない！
なので 無矛盾と信じる基礎論屋さん多数いるらしいな （＾＾

>>317
>数学では
数学を1ミリも分かってない君が数学を語るのはおこがましい

>定理とは、証明できるもの
定理とは公理から証明できるもの、つまり公理とは仮定。
実は数学の公理とは別に数学が依拠している論理にも公理がある。

>公理とは、証明できないもの というか 証明できないが 数学者共通の議論のため
>公理と認めて 数学をやろうということだ
公理は仮定。それ以外のなんたらかんたらは雑多な周辺状況に過ぎない。

>>316
>はい、大嘘。
>公理とは仮定に過ぎない。何かを作るための道具ではない。

不完全性定理の示すところ
無矛盾の証明は難しい
ゆえに 長年多くの数学者が使ってきた公理系は
数学の宝石のようなもので
尊重されるべきもの

勿論、既存の公理系の枠を破る数学もあって良いし そうあるべきと思うが
簡単に 思いつきのごとく 「公理とは仮定に過ぎない」というが
それも一面の真理ではあるが 素人の思いつきで「俺様公理！」と言ってもね

まあ、普通は 既存の公理系で 本当に行き詰まりになったときに
考えるくらいにしておかないと 当りを引ける確率は 宝くじ以下だろう
（おもいつきの公理系は たぶん外れくじ）

>>318,320
ですね

（思いつきでしか数学を語れないみたい）

>>317 追加

安藤哲哉
”代数学続論(体とガロア理論)”
のみ url 貼る
（他のリンクは ホームページから辿れ）

https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
安藤哲哉
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/LectureNote.html
講義ノート 千葉大で講義ノート

代数学I(群論) Download (Algebra I)

代数学II(可換環と加群)Download (Algebra II)

代数学続論(体とガロア理論)Download (Algebra III)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/DAISU3.pdf

>>319
>到達不可能基数と 無限公理には 大きな違いがある
無い。
無限公理とは可算な到達不能基数の存在公理に他ならない。つまり違いは可算か非可算かだけ。
君が汚らしく書き連ねてる違いは表面的な違いに過ぎない。本質が見えていない。

>当たり前に 普通のZFCでは 到達できない（そういう定義だからね）
ぜんぜん違います。
口を無駄に開く前に定義を確認して下さい。

>さて そんなことをして 大丈夫か？ 矛盾しないの？ が、その証明はない（不完全性定理）
それ、ZFの無矛盾性も同じことだよ。
完全性定理より、ZFが無矛盾であることを示すにはモデルの存在証明が必要。
不完全性定理より、そのためにはメタ理論が必要。
そのメタ理論の無矛盾性は・・・。どこまでいってもキリが無い。それが数学の限界。
だから「無矛盾なら」という仮定がどうしても必要。
だからことさらに到達不能基数の存在の無矛盾性だけを取り上げてもナンセンス。

>無矛盾と信じる基礎論屋さん多数いるらしいな （＾＾
矛盾が見つからない限り無矛盾と信じるしかない。それが数学の限界。

>>321
>不完全性定理の示すところ
>無矛盾の証明は難しい
難しいのではなく不可能

>ゆえに 長年多くの数学者が使ってきた公理系は
>数学の宝石のようなもので
>尊重されるべきもの
誰も否定していない

>勿論、既存の公理系の枠を破る数学もあって良いし そうあるべきと思うが
>簡単に 思いつきのごとく 「公理とは仮定に過ぎない」というが
思い付きと思うのは君が本質を理解していないから

>それも一面の真理ではあるが 素人の思いつきで「俺様公理！」と言ってもね
俺様数学やってるのは間違い指摘を無視してる君

>まあ、普通は 既存の公理系で 本当に行き詰まりになったときに
>考えるくらいにしておかないと 当りを引ける確率は 宝くじ以下だろう
>（おもいつきの公理系は たぶん外れくじ）
ど素人の所感は誰も求めてない

>>318
>まったく同じで無限公理無しではωの存在も非存在も証明できない。証明できないのに非存在とする君が間違い。
>理論から存在も非存在も証明できない集合はそのモデルに存在してもしなくても良い。

アホが出鱈目をｗ （＾＾
数学では、証明できないなら 予想としか呼べないよ

ある数学的対象が、”存在も非存在も証明できない” ということの証明も そう簡単ではないし
ゆえに 例えば 素数分布関連 リーマン予想について リーマン予想が正しいとして いくつも論文が書かれている。
多分、予想が正しくなければ 矛盾が導けるし、
正しいことが証明されれば ドミノ倒しで 自分の論文が定理になるだろう

到達不能基数の存在とは ちょっと質の違う話だが
（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）

おっさんの話は、みそくそ一緒だよ
まあ 到達不能基数仮説 と呼ぶのは ありだろうが
いまや 到達不能基数は 基礎論のメインストリームだから わざわざ仮説と呼ぶ人は小数派

>>327
＞数学では、証明できないなら 予想としか呼べないよ

Pも¬Pも証明できないなら、決定不能命題と呼ばれる

無限公理無しの集合論における無限公理
ZFにおける選択公理
ZFCにおける一般連続体仮説
は決定不能命題

ZFCにおける到達不可能性基数の存在は・・・どうだろうか？

>>327
>アホが出鱈目をｗ （＾＾
>数学では、証明できないなら 予想としか呼べないよ
予想とは定理であるか否かが未知な命題。つまり予想・定理・証明等は統語論の範疇。
一方モデルは意味論の範疇。
範疇が別なのにごちゃまぜにしてデタラメ語ってるアホが君。

>ある数学的対象が、”存在も非存在も証明できない” ということの証明も そう簡単ではないし
簡単でないから君のデタラメが正当化される
ということは無い。

>ゆえに 例えば 素数分布関連 リーマン予想について リーマン予想が正しいとして いくつも論文が書かれている。
まったく関係無い。

>多分、予想が正しくなければ 矛盾が導けるし、
え？　何と何が矛盾してると？

>正しいことが証明されれば ドミノ倒しで 自分の論文が定理になるだろう
言うに及ばず

>到達不能基数の存在とは ちょっと質の違う話だが
>（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）
その定義からしてって、君、定義を知らないじゃん　何度も確認しろと言ってるのに頑なに確認しないじゃん

>おっさんの話は、みそくそ一緒だよ
瑕疵があれば具体的にどうぞ
具体性の無い批判は誹謗中傷に過ぎないことを覚えておくと良い

>まあ 到達不能基数仮説 と呼ぶのは ありだろうが
仮説とは？仮説の内容を書き下してみて

>いまや 到達不能基数は 基礎論のメインストリームだから わざわざ仮説と呼ぶ人は小数派
意味不明

命題は
定理・定非・（理非）決定不能命題
の３つに分かれるが
どれに入るかわからんものを予想という

たぶん、きっと

>>329
>（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）
ZFCから強到達不能基数κの存在は証明不可能。
ZFCが無矛盾との前提で、仮にZFCからκの存在証明が可能なら、ZFCのモデルであるVκの存在をZFCから証明できることになり、完全性定理よりZFCの無矛盾性をZFCから証明できることになるが、それは不完全性定理に反する。

>>331
(引用開始)
>（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）
ZFCから強到達不能基数κの存在は証明不可能。
ZFCが無矛盾との前提で、仮にZFCからκの存在証明が可能なら、ZFCのモデルであるVκの存在をZFCから証明できることになり、完全性定理よりZFCの無矛盾性をZFCから証明できることになるが、それは不完全性定理に反する。
(引用終り)

うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
ここで
・k,k+1・・などは到達不能基数で この順に大きくなり Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙

これより
・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
・κの存在証明が不可能は、良いだろう
以上

(参考)
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao

(google検索)
ZFC 無矛盾の強さ 到達不能基数
＜AI による概要＞
ZFCに到達不能基数の存在を加えた理論は、ZFC単体よりも厳密に無矛盾性が強い（consistency strengthが高い）
到達不能基数とZFCの無矛盾性の関係
・無矛盾性の強さの順序
　＊ZFC の無矛盾性を Con(ZFC) と表す。
　＊ZFC + Con(ZFC) は、到達不能基数の存在を仮定した理論と等価。
　＊したがって、到達不能基数が存在すれば Con(ZFC) が成り立つ。
・📉 ゲーデルの不完全性定理からの制約
　*ZFC が無矛盾である限り、 ZFC の中から到達不能基数の存在を証明することはできない。
　*同様に、 ZFC が無矛盾なら「到達不能基数が存在しない」という仮定も無矛盾である。
・📌 巨大基数階層における位置づけ
　*到達不能基数は、数ある「巨大基数」のなかで最も小さい（最も弱い）部類に属する。
　*これより上位には、可測基数やラッセル基数など、さらに無矛盾性の強い巨大基数が存在する。

さらに詳細な証明の概略や、他の巨大基数（マーロ基数や可測基数など）との関係について知りたい場合はお知らせください。

https://eurekagap.ｓｅsaa.net/category/23564817-1.html
GAPのブログ
巨大基数入門〜可測基数を巡って〜
2016年3月に関西すうがくとのつどいで発表する機会がありました。
そのときに作ったスライドを公開します。
このブログ記事で3回に分けてだらだら説明していた巨大基数とは何かということが、可測基数を例にあげて説明しています。
「一応」self-containedな書き方をしています。
https://eurekagap.up.ｓｅesaa.net/image/measurable_intro.pdf
巨大基数入門〜可測基数を巡って〜
Eureka GAP May 17, 2017

>>332
>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数
>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙

Vo(oは順序数)は正確にはZFCの宇宙ではなく累積的階層ね

で、kが到達不可能基数の場合　VkはZFCの宇宙

さらにkが到達不可能基数でも、k+1はそうではないよ

到達不可能基数は正則な極限基数だから

>>332
>うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
考えるのはいいけど、君、包含関係の列になる理由を分かってる？　ただの受け売り？　それは勉強とは言わないよ

>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数で
だから間違いだと何度言わせるの？　間違いと指摘されてるんだから最低でも指摘が正しいかくらい確認しなよ　君の性格からして俺様数学やりたいんだろうけどさ

>この順に大きくなり
包含関係の列になる理由を理解してる？

>Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
Vκはκを含まないよ。Vκ:=∪[λ<κ]Vλ だから仮にそうでないとするとλ<κであるようなVλのいずれかがκを持っていることになる。
何も考えずに妄想語るのは数学とは呼べないよ。

>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙
ある到達不能基数κに対して、一般に「o<κであるような到達不能基数oは無い」は言えない。それが言えるのはκが最小の到達不能基数のときだけ。
「通常」なる馬鹿語は使わない方が良い。君の中の「通常」が他人にとっても「通常」である根拠は1ミリも無い。
Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから。

>これより
>・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
まずVk+1は集合であって、集合単体に矛盾も無矛盾も無い。
Vk+1が、ある理論のモデルである場合もモデル単体に矛盾も無矛盾も無いが、モデルが存在する理論は完全性定理により無矛盾。
君がどういう意味で「Vk+1が無矛盾」と言ってるのか不明なので主張全体としても何を言ってるのか不明。

>・κの存在証明が不可能は、良いだろう
良くない。
何の仮定も無しにはいかなる命題も証明できないことは理解できる？
ある命題の証明可能性を語るときどんな仮定（公理）からかを言わなければ意味を為さない。君の発言はナンセンス。

もう初歩の初歩の初歩からダメ。一から勉強してください。数学を手っ取り早く理解する近道なんてありません。

>>333
>さらにkが到達不可能基数でも、k+1はそうではないよ
>到達不可能基数は正則な極限基数だから
それもう10回くらい指摘してるのに完全シカトで俺様数学をやりたいらしい。
是が非でも到達不能基数の定義を確認したくないらしい。
じゃあ数学やめなよと言いたくなる。

>>335
確認すると自我が崩壊してしまうのかも？
あるいは既に確認しているが
箱入り無数目と同様
間違っていたと思いつつそれを認めたくないのかも