>>231-242
(引用開始)
>１）何を集合とするかを決めるのが、いまの公理的集合論であり、公理の役割だ
集合は真クラスを元として持てるなんてどの公理も主張してませんけど
VはUを元として持てないなんてどの公理も主張してませんけど
(引用終り)

下記 フォン・ノイマン宇宙 Vと集合論
”ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである。Vω+ω はordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである。”
”κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。”

さて
１）「ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである」
　つまり、Vω内には 無限公理が無いので 集合ωは、存在しない（無限公理なしでは ωは集合でなくクラス（∵無限集合が作れない））
　普通に無限公理を持つ通常のノイマン宇宙V内では ωが存在して 集合として扱える（無限公理よる）
２）いまグロタンディク宇宙で 到達不能基数選択に自由度があるので κ+1を考え Vκ+1の中には κが存在すると仮定する
　さらに、ZFCでは「全ての概念は 集合に置き換えられるべき」ことを思い出そう。基数も集合なり
　下記の基数 フォン・ノイマンの割り当て により ある基数κが存在するとは それ未満の全ての基数と順序数を含む大きな集合κの存在を意味する
３）繰り返すが、通常のノイマン宇宙V内の（通常の＝到達可能の）全ての基数と順序数を含む巨大集合κの存在を意味する
　そして そういう巨大なκを含む宇宙内において さらに ZFCの公理を使って べき集合や和など 通常のVにおけると同様の集合演算がを尽くされる
　それが 宇宙 Vκ+1
　ゆえに 記号の濫用で V⊂Vκ+1、 Vκ+1＝Uとして V⊂U■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集∅
・すべての遺伝的有限集合 の集合Vω

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0
基数とは、集合の濃度 を測るために定義された自然数の一般化である
定義
基数の厳密な定義
フォン・ノイマンの割り当て
任意の順序数 β に対し β < α ⇒ | β | < | α | を満たす順序数 α を始順序数 (initial ordinal) という[注釈 1]。このとき整列可能な集合 X に対して min{α∈ON :| α | = | X | } を濃度 | X | の始順序数という（ただし ON は順序数全体からなるクラス）。 整列可能な集合の濃度をその始順序数として定義することをフォン・ノイマンの割り当てという