>>245
(引用開始)
>>240,242
という話は耳にするんだけれど
具体的にはどんな操作をしたいんだろ？
たとえば
クラスの集まりは考えることが出来ないから
集合の集まりにするとかかと思うけれど
グロタン宇宙Uの部分集合はUの元じゃ無い
（元であるものもあるけれど）
つまりそういうものを考えたら結局Uの外に出てしまう
出てしまっても集合だから考えて問題ないとするんだろうけど
Uで収まらないからもう一段大きいグロタン宇宙考えて・・・
てキリないよね
(引用終り)

正確な話は 私には難しい
なので >>229より 檜山正幸のキマイラ飼育記を引用する

https://m-hiyama.ｈａtenablog.com/entry/20180405/1522890331
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2018-04-05
グロタンディーク宇宙って何なんだ？
"Universes for category theory"の著者ロー〈Zhen Lin Low〉
https://arxiv.org/abs/1304.5227
(google訳)
グロタンディーク宇宙公理は、すべての集合は、それ自体が集合である何らかの集合論的宇宙 U の要素であると主張します。U は「任意だが固定された」宇宙であるため、すべての U 集合の圏や、すべての局所的に U 小さい圏の圏といった実体を扱うことができ、これらの実体にどの集合論的演算を正当に適用できるかを心配する必要はありません。残念ながら、U を変更する可能性を許容するとすぐに、極限や随伴、カン拡張などの普遍的構成が原理的にパラメータ U に依存する可能性があるという事実にも直面しなければなりません。局所的に表現可能な圏間のアクセス可能な関手の随伴（したがって、極限とカン拡張）についてはそうではないことを証明し、「有界」構成は U の選択に依存しないという考えを明確にします。
＜本文＞
https://arxiv.org/html/1304.5227v2
(google訳)
導入
圏論では、一般に「グロタンディーク宇宙」として知られる集合論的な装置を用いると便利な場合が多いが、基数境界や固有クラスなどを含む様々な回りくどい表現を排除して説明や証明を簡略化するために、ここでは単に「宇宙」と呼ぶことにする。アルティンら、1972年（暴露I、§0）では、著者らは次の宇宙公理を採用している。
u 各セットについてx宇宙が存在する𝐔とx∈𝐔。
略
1集合論
略
マックレーン集合論の詳細に興味のある読者は、（マティアス、2001年）しかし実際には、常に何らかの宇宙の中で作業している限り、ZFCで作業しているのと何ら変わりない。実際：
命題1.3。マックレーン集合論の仮定の下では、いかなる宇宙もZFCの推移的モデルとなる。
証拠
略

References
Mac (1998)
Saunders Mac
“Categories for the working mathematician”, Graduate Texts in Mathematics 5
New York: Springer-Verlag, 1998

Mathias (2001)
Adrian.. Mathias
“The strength of Mac Lane set theory”
In Ann. Pure Appl. Logic 110.1-3, 2001, pp. 107–234
DOI: 10.1016/S0168-0072(00)00031-2