>>220
>Q（√（2+√5））はQ上のガロア拡大ではない。

私は、あまりQには答えない主義だが
中高生向けの参考に、下記など

即ち、ガロア拡大とは？
下記 「ガロアの最後の手紙--シュヴァリエ宛の手紙--」にあるとおり
（既約）代数方程式の根を全てく添加した場合だ
（つまり群の固有分解が成り立つ場合：いまの群論では正規部分群という概念で説明している）

追加説明
１）x=√（2+√5）→x^2=2+√5→x^2 -2 =√5→(x^2 -2)^2 =5→x^2 -2x -1 =0 となる
２）つまり x=√（2+√5）は、方程式 x^2 -2x -1 =0 の根の一つ
　この4つの根を全て添加した場合がガロア拡大
（実際 4つの根中に虚数根があるので √（2+√5）だけでは不足することが分る）

(参考)
https://www.seki-kowa.org/
関孝和研究所
https://www.seki-kowa.org/b9bcaa419ab5f5bf3be834ac073dbecb
上野健爾（所長）
第20回のSKIMレクチャーを以下の要領で開催します．
2026年 3月15日
上野健爾氏
「ガロアの最後の手紙--シュヴァリエ宛の手紙--」を読む
https://www.seki-kowa.org/wysiwyg/file/download/30/60
P8
ガロアの手紙
第一論文は既に書いた．ポアソンの所見にもかかわらず，
若干の修正をした上でそのままにしておく．
第二論文は方程式論への非常に興味深い応用を含んでいる．
ここに，いくつかのきわめて重要な事柄の要点を書き留め
ておく．
1◦第一論文の主張II とIII によれば，方程式に補助方程式
の一根をつけ加えることとすべての根をつけ加えることと
では大きな違いがあることが分かる．
　両者の場合とも根をつけ加えることによって方程式の群
は一つの同じ置換を施すことによって一方から他方へ移り
合うようなグループに分解する．しかし，これらのグルー
プが同じ置換を有しなければならないという条件は(すべて
の根をつけ加える) 二番目の場合以外では成り立たない．こ
の(条件が成り立つ) 場合は固有分解と呼ぶ．

P9
　言い換えると群G が群H を含んでいる場合，群G はいく
つかのグループに分解される．それぞれのグループは一つ
の同じ置換をH の順列に施すことによって得られ，
G = H + HS +HS′+・・・
と分解される．またそれは
G = H + TH +T′ H +・・・
と同じ置換からなるグループに分
解される．この二種類の分解は通常は一致しない．両者が
一致するとき分解は固有であると言われる．