>>300
(引用開始)
公理を加えても存在するとして良い元（集合）は増えない
それは公理系を充たすのがモデルの定義だから
ある公理系を充たすモデルがあるとき
そこからある程度の公理を外してもそのモデルは
公理が少なくなった公理系のモデルのまま
(引用終り)

”公理を加えても存在するとして良い元（集合）は増えない”
の反例を挙げよう
　１）無限公理がないと 最初の可算無限集合ω＝N が作れない
　　Nが作れないと Nのべき集合 2^N が存在しないから その後の非可算無限集合が作れない
　２）選択公理の場合
　可算選択公理＜従属選択公理＜（フルパワー）選択公理
　ここに 記号＜は 強さの順
　いま、各選択公理の強さが、出力できる列長さで測れるとする
　つまり、可算選択公理は、可算長ω長さの列
　（フルパワー）選択公理は、無制限（非可算長も可）
　従属選択公理は、ωより長く 非可算長には届かない
　この場合において 可算長有理コーシー列で 実数Rの定義で 完備距離空間Rを作ることを考えると
　（フルパワー）選択公理なら可。従属選択公理も 可
　だが、可算選択公理だと ”完備”が証明できない（？）
　まったく なんらの 選択公理を仮定しないなら？ そもそも 可算長有理コーシー列が 作れないだろう

まとめると、
公理には積極的に公理を作るためのもの（上記）もあれば、
抑制するものもある
抑制する公理の代表例が 正則性公理だろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]
使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。